常微分方程4.5

§4.3高阶方程的降阶和幂级数解法一般的高阶方程没有普遍适用的解法.处理问题的原则是降阶.4.3.1可降阶的一些方程的类型n阶方程的一般形式为F(t,x,x′,…,x(n))=0.这里介绍几类可降阶的方程：●不显含未知函数x，或一般地，不含x及x的各个较低阶导数的方程F(t,x(k),x(k+1),…,x(n))=0.对此类方程，令x(k)=y,即可将方程降k阶．例１x(n)=f(t).解可用逐次积分法求通解．00000()(1)1(2)10211021010()()dd()d()d()d()(1)!()().(2)!tnntttnttttnttnnnnxftxfttcxtfttcttccxtfttttncttcttcn显然，这个解满足初始条件x(t0)=cn,x′(t0)=cn-1,…,x(n-1)(t0)=c1.为计算方便，可把关于t的n次求积分的表达式,化为对参数u的一次积分00011d()d()()d.(1)!tttntttntftttufuunn=2时，右端看作vou平面上的二重积分，积分区域为图中三角形．交换积分次序，得0000d()dd()d.tttvtttttfttvfuu0000d()dd()d()()d.tvtttttuttvfuuufuvtufuutt0t0tvuuvuvt0tuvOn=3时，类似地对F(t,x(n))=0若能解出x(n)，则按例１方法求解，否则引入参数u，将其改写为参数形式t=φ(u),x(n)=ψ(u).000000000022dd()dd()()dd()()dd()()d()()()d()d,.22[]tttttttttttvtttttuttttttfttttufuuvvufuuuvufuvvutuvtfuufuuvu例2解设x″=p，则原方程等价于.xtex,.ptepxp2121223112dd(1)d1(1)21d[(1)](1)d231()(1).2426ppppppxptpepxppecxxtppecepppecepcpc例３解设x(４)＝y,则所以(5)(4)10.xxtdy10.dtyyctt(4)53212345.xctxctctctctc●不显含自变量t的方程F(x,x′,…,x(n))=0.令x′=y，则原方程可化为以y为未知函数，x为自变量的n-1阶方程．事实上，有2222(1)1()1dddd,dddddddddd()(),dddddd,ddd(,,,).dddnnnnyyxyxytxtxxxyyyxyyyyytxxxxxxyyxyWyxxx例４解设x′=y，则代入原方程得于是2()0.xxxddyxyx2dd00.ddyycxyyxyyxxx212ddd.dxcxxctxctctx例５求数学摆的运动方程满足初值条件：t=0时,的解.解设则初值条件代入得0d0,0dt22dsindgtld,dpt2222ddddd.dddddd1sin(cos)d2d2()(cos).dpppptttpggppcllgctl0d2coscos.dgtl考虑摆从最大的正偏离角φ=φ0到最大的负偏离角φ=-φ0间的第一次摆动的情况．此时φ′0.变量分离后积分，并注意到初值条件如果记则上式可写成0d2coscos(1)dgtl000d22d.coscostggttll0000d,2coscosltg000d.(2)2coscoslttg摆经时间t=t0，从φ=φ0第一次到达φ=0（平衡位置），经t=2t0到达φ=-φ0位置．从(1)所得解(2)只适用0≤t≤2t0.t=2t0以后的时间里因φ′0,所以应讨论下述方程积分上式,并注意初值条件是t=2t0时φ=-φ0.0d2coscos(3)dgtl00000002000000000000d22d(2)coscosd2()22coscos()()22d3(4)2coscosttggtttllllttggllgglttg方程(3)的解在2t0≤t≤4t0上适用,4t0≤t≤6t0上摆的运动又由方程(1)描述,…….注1不能用初等函数表示,是一个椭圆积分(形如或的积分,最先在求椭圆弧长时遇到此类积分).注2显然,上述讨论的非线性情形比线性化了的情形要复杂.00dcoscos32(,)dRxxaxbxcx432(,)dRxxaxbxcxdx●齐线性方程如果知道(1)的k个线性无关的解x1,x2,…xk,则可通过一系列同类型的变换,使方程降k阶,且新方程是n-k阶齐线性的.具体做法如下:作变换x=xky,则1111ddd[]()()()0(1)dddnnnnnnxxxLxatatatxttt()()(1)(2)(),2,(1).2kkkkknnnnnkkkkxxyxyxxyxyxynnxxynxyxyxy所以(1)被化为因xk是(1)的解,故的y系数为0.因此,再作变换z=y′,并在xk≠0的区间上将y(n)的系数变为1,得方程方程(1),(2)的解的关系是()(1)1()(1)1[()][()()]0.knnkkknnknkxynxatxyxatxatxy121112dd()()0(2)ddnnnnnzzbtbtztt()d.kkxzyxxztx所以(2)有k-1个线性无关的解事实上,显然zi是(2)的解.其次,假设有关系式a1z1+a2z2+…ak-1zk-1≡0,即(),1,2,,1.iikxzikx111111111111()()0()()0,kkkkkkkkkkkkkxxaaxxxxaaaxxaxaxax因为x1,x2,…xk线性无关,所以a1=a2=…=ak-1=ak=0,因此z1,z2,…zk-1线性无关.继续上述做法.最后将原方程降k阶.特别地,设是的解,作变换x=x1(t)y,可得1()0xxt22dd()()0(3)ddxxptqtxtt11111111112212321(2)022d()d()ddlog||2log||dexp(d)()exp(d)d.()xyxpxyxpxxytptyxxyxptccyptxcypttcxc2=1,c3=0得另一特解21211exp(d)d.()xxpttx121212[,]exp(d)0Wxxxxxxpt线性无关.事实上,上述结果也可直接运用Liouville公式得到11212121121212211d()exp(d)dexp(d)d()exp(d)dexp(d)d.WptWWcpttxxxxcptxxcpttxxcpttcxx例6已知的特解求通解.解令则代入原方程,得30txxtxx1,xt1,xyt22323411122,,1366.xyyxyyytttttxyyyytttt12312301.ttttyyycececeexcccttt例6第二宇宙速度的计算设法计算发射人造卫星的最小初速(第二宇宙速度)使卫星摆脱地球引力绕太阳运行,成为一颗人造行星.先建立物体垂直上抛运动的微分方程.以M,m表示地球与物体的质量(物体的体积,质相对于地球很小,可看作质点).由牛顿万有引力定律(在Kepler关于行星绕太阳运行的三定律的基础上,Newton通过研究两体问题而导出了万有引力定律,而万有引力定律包含了开普勒的三定律).地球作用于物体的引力F2,mMFKrr为物体重心到地球中心的距离.再根据牛二定律(运动物体所受力总和=质量x加速度)初始条件:t=0,r=R(=6.37x106m),(初速).设则方程化为注意到r=R时,v=v0所以222222dd.ddrmMrMmKKtrtr0ddrvt22dddd,,ddddrrvvvvtttr22d11.d2vMvKvKMCrrr22200,().222vvKMvKMKMCRrR要使卫星摆脱地球引力,须足够大,所以要使上式成立,必须因此,最小初速将K=6.672x10-23(千米)3/克·秒2,M=5.977x1027克,R=6.37x106米=6.37x103千米,代入得第二宇宙速度v0=11.2x103米/秒.如果已知重力加速度g，而K，M未知，则由地球表面r=R的重力加速度g＝9.81米/秒2可得20020.2vKMKMvRR02.KMvR米/秒.若要计算使卫星摆脱太阳引力的初速，则将Ｍ改为太阳的质量1.983x1033克，地球的半径R改为地球离太阳的距离1.495x108千米，得，要摆脱太阳引力的初速(即相对太阳的速度)超过22302211.210mMmgKKMgRRKMvgRR233308226.672101.9831042.11.1.49510KMvR又地球绕太阳速度是29.76千米／秒，所以地球上卫星发射后的速度应超过42.11-29.76=12.35千米／秒(摆脱地球引力后的速度)．设v0为地球上发射的初速，那么即，第三宇宙速度是16.7千米／秒.22222200022220222()11.212.3511.212.35278.1(16.7).KMKMKMvvvvrRRv若计算第一宇宙速度(7.9千米／秒)，可类似方法建立方程组使运行轨道为圆的最小初速即为第一宇宙速度．32223222,(),()KMxxxyKMyyxy