常微分方程5.2

§5.2线性微分方程组的一般理论)14.5()()('tfxtAx本节我们讨论线性微分方程组的一般理论，主要研究它的解的性质和通解结构。0)(tf如果，则（5.14）称为非齐次线性微分方程组。0)(tf如果，则（5.14）称为齐次线性微分方程组，即称为齐次线性微分方程组，通常(5.15）称为对应于（5.14)的齐次线性微分方程组。)15.5()('xtAx5.2.1齐线性微分方程组主要讨论齐线性微分方程组（5.15）所有解的集合的代数结构。前提：A(t)在区间上是连续的。btakCCC,,,21定理2（叠加原理）如果是（5.15）的解，则它们的线性组合也是（5.15）的解，这里是任意常数。)()()(2211txCtxCtxCkk)(,),(),(21txtxtxk分析(5.15)的所有解构成一个线性空间,那么这个空间的维数是多少？于是需要考虑类似的概念：向量函数组线性相关(无关)以及向量函数组的伏朗斯基行列式。1.解的性质2.向量函数组的线性相关性0)()()(2211txctxctxckk对于所有都成立，则称这些向量函数在所给区间上是线性相关的,否则就称这些向量函数是线性无关的。],[bat的对应分量成比例数特别地，若两个向量函21,(1)YY,,)()()()()()(2122211211Itktytytytytytynn即.21线性相关与则YY.,关则该向量函数组线性相向量若向量函数组中有一零(2)定义1考虑定义在区间上的向量函数,如果存在不全为零的常数,使得恒等式bta)(,txkkccc,,,21),(),(21txtx例3,111)(33331xxxxeeeexY向量组1212)(66662xxxxeeeexY.),(上线性无关在例2,1-01)(2-1xexY向量组1-10)(2-2xexY.),(上线性无关在例1,202)(2-1xexY向量组1-01)(2-2xexY.),(上线性相关在证明:要使112233()()()cxtcxtcxt2331230010ttttteeccecee0例证明:函数向量组1()0,ttexte320(),1txte在(-,+)上线性无关.233(),0ttexte2133230000,100ttttteeceectec则需因为2330010ttttteeeee42te0,所以1230,ccc123(),(),()xtxtxt故线性无关.t3.向量函数的朗斯基(Wronsky)行列式)()()()()()()()()()()](,),(),([21222211121121txtxtxtxtxtxtxtxtxtWtxtxtxWnnnnnnn,其中,)()()(21txtxtxxnkkkk定义2由定义在区间上的n个向量函数所作成的如下行列式称为朗斯基行列式，即)(,),(2txtxn],[bat),(1tx定理3若向量函数在区间上线性相关，则它们在上的朗斯基(Wronsky)行列式为零，即有)(,),(),(21txtxtxn[,]ab].,[,0)(battW[,]ab证明使得设存在不全为零的常数,,,,21nCCC],,[,0)()()(2211battxCtxCtxCnn],,[,0)()()(,0)()()(,0)()()(221122222111122111battxCtxCtxCtxCtxCtxCtxCtxCtxCnnnnnnnnn则有],,[,,,,21batCCCn且对的齐次线性代数方程组这是关于].,[,0)(,,,,21battWCCCn所以有非零解定理4如果方程组(5.15)的解在区间上线性无关，则在上的任何点处都不等于零，即有)(,),(),(21txtxtxn[,]ab).(0)(btatW)](,),(),([21txtxtxWn[,]ab证明用反证法.,0)(],,[00tWbat使得若考虑方程组(5.17),0)()()(,0)()()(,0)()()(002201102022202110101220111txCtxCtxCtxCtxCtxCtxCtxCtxCnnnnnnnnn零解所以上述方程组存在非由于,0)(0tW则有,,,,21nCCC,0)()()(0022011txCtxCtxCnn(5.18))()()()(2211txCtxCtxCtxnn令.0)()15.5(20tx的解，且滿足初始条件知，它是由定理].,[,0)(1battx，据定理不全为零，因nCCC,,,21..],[)(,),(),(21与假设矛盾上线性相关在从而batxtxtxn.],[)(上恒不等于零在所以它的朗斯基行列式batW推论1的朗斯基行列式如果向量组),,2,1)((nitxi,0)(],[)(00ttbatWW处不等于零，即上某点在区间.],[上线性无关则该向量函数组在区间ba推论2个解的朗斯基行列式的若方程组n)51.(5,0)(],[)(00tWtbatW处等于零，即上某一点在区间.],[上必线性相关则该解组在ba定理5齐线性方程组(5.15)一定存在n个线性无关的解。3.通解结构],[)1.(ban个解在其定义区间的方程组55是：上线性无关的充要条件推论3它们的朗斯基行列式.],[)(上任一点处都不为零在batW证明初始条件：一定存在满足，齐次线性微分方程组由定理(5.15)1,001)(01tx,010)(02tx(*)100)(0txn].,[,,2,1),(0batnitxni，其中个解的01100010001)W(0t由于.(5.15)(t),),(),(21个线性无关解的是从而nxtxtxn注：称滿足初始条件(*)的基本解组为方程组(5.15)的标准基本解组.定理6（通解结构定理）如果是方程组（5.15）的个线性无关的解，则方程组（5.15）的通解可表示为其中是任意常数，且通解包含了方程组（5.15）的所有解。)(,),(),(21txtxtxn(**))()()(2211txctxctxcxnnn12,,,nccc证明(1)由Th.2知，(**)式是方程组(5.15)的解；.0)(),,,(),,,)()()(),,,,(**212121221121tWcccccctxctxctxcccctxnnnnnnn，，，（的雅可比行列式关于事实上，我们有个任意常数相互独立，）式中的容易证明，（.(**))()2(来表示均可用下证任一解tx为此，我们只要证明可以找到这样的niiintxCtxCCC121)()(,,,使得为此考虑线性代数方程组(5.20)),()()()(00022011txtxCtxCtxCnn从而（**）式为方程组（5.15）的通解这是一个非齐线性代数方程组，它的系数矩阵行列式恰好是线性无关解的朗斯基行列式(t),),(),(21nxtxtx从而上述方程组知的值，由在,0)(4.)(00tWThtttW换句话说，确有有解.,,,21nCCC.(5.20),,,21成立使nCCC推论4方程组（5.15）的线性无关解的最大个数等于．因此,齐线性方程组的所有解构成一个维线性空间．nn定义方程组(5.15)的一组个线性无关解称为它的一个基本解组，显然，基本解组不唯一．n处在和解的解这说明齐次方程组01)()((5.15)tttxCtxinii滿足相同的初始条件，由解的唯一性可知，这两个解在区间I上恒等，即定理成立..)15.5(1)15.5(.)15.5(,)15.5(5的通解方程组我们即可得到个线性无关的解，那么的组方程特别地，如果已经知道函数的线性微分方程组个未知可以降低为只含则方程组无关的解个线性的程组如果已知齐线性微分方推论nknk个线性无关的解。方程组的时还得到新的线性微分方程组，同未知函数个可以化为只含方程组可以证明在此变换下，，令可不妨设，，设无关的解，则个线性）的是方程组（设分析1,,,1)15.5(,)(1,1,,2,1,)()(0)())(,),(),(()(0)(5.15)(,),(),(1212121kyyynxtynixttxytttttxtxktxtxtxnnnnnniiinTnkkk的线性微分方程组。个未知函数化成只含有的变量变换将方程组类型去，由此总可以通过同上述过程可继续进行下kn)15.5(4.有关结果的矩阵表示解矩阵和基解矩阵的概念:定义如果一个矩阵的每一列都是方程组(5.15)在区间上的解,则称该矩阵为方程组(5.15)在区间上的解矩阵,如果它的列向量还线性无关,则称该矩阵为(5.15)在上的基解矩阵。btabtannbta定理1*方程组(5.15)一定存在一个基解矩阵，方程组(5.15)的通解可表示成()t这里是任意的维常数列向量，且通解包含了所有解．CnCtx)(由定理5，6有为了寻求齐线性微分方程组（5.15）的任一解，需要寻求一个基解矩阵。那么，怎样判定一个解矩阵是基解矩阵？定理2*方程组(5.15)的一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是．而且，如果对于某一个有，则有（这里表示矩阵的行列式）．()tdet()0()tatb0[,]tabdet()0()tatbdet()t()t0)(det0t由定理3，4有例1验证是方程组的基解矩阵,ttteteet0)(xx1011'21xxx其中解(步骤)1.首先验证它是解矩阵,即把该矩阵的每一列作为一个向量验证是否是解？2.计算解矩阵的行列式值，并进行判断。注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的。例如：0001012ttt线性无关向量函数组不一定能构成基本解组！推论1*如果是方程组(5.15)在区间上的一个基解矩阵，是非奇异常数矩阵，那么也是(5.15)在区间上的一个基解矩阵．)(tCt)(btabtaCnn这说明基解矩阵不是唯一的．证明：按定义验证即可.推论2*如果，在区间上是的两个基解矩阵，那么,存在一个非奇异常数矩阵，使得在区间上，)(t.)()(CttbtabtaCnn)(txtAx)('这说明基解矩阵的相似性．构造方法证明：构造常数矩阵C.5.2.2非齐线性微分方程组)15.5()(')14.5()()('xtAxtfxtAx利用(5.15)解的结构来讨论(5.14)解的结构.1.非齐线性微分方程组解的性质2.非齐线性微分方程组解的结构3.常数变易法1.非齐线性微分方程组解的性质性质1如果是(5.14)的解，是对应的齐线性微分方程组(5.15)的解,则是(5.14)的解.)(t)(t)()(tt性质2如果,是（5.14）的解，则是（5.15）的解.)(t)(t)()(tt基本思想：代入式验证。基本思想：代入式验证。2.非齐线性微分方