1-1-3正、余弦定理习题课

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修5成才之路·数学·人教A版·必修5第一章解三角形第一章解三角形成才之路·数学·人教A版·必修5第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理第一章成才之路·数学·人教A版·必修5第一章解三角形第一章第3课时正、余弦定理习题课第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5课前自主预习方法警示探究思路方法技巧名师辩误做答课后强化作业课堂巩固训练第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5课程目标解读第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修51．熟练应用正、余弦定理解三角形．2．综合运用三角函数、平面向量及解三角形的知识，解决一些实际问题．第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5课前自主预习第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修51．由正弦定理和等比性质可得，a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝tsinA，则t＝___.2．由正弦定理可得三角形的面积S＝12ab·______.3．由两角和与差的三角函数可得tanA＋tanB＋tanC____tanA·tanB·tanC(填，＝或)．asinC＝第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修54．由诱导公式可得sinA＋B2＝cosC2.5．在△ABC中，①若sinA＝sinB，则A＝B.②若cosA＝cosB，则A＝B.③若sinAsinB，则AB.④若cosAcosB，则AB.其中正确结论的序号是_________.①②③第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5重点难点展示第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5重点：正、余弦定理的综合应用．难点：复杂的解三角形条件中寻找解题的突破口．第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5思路方法技巧第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5命题方向三角形中的三角函数[例1]设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A－C)＋cosB＝32，b2＝ac，求B.[分析]三角形内角A、B、C满足A＋B＋C＝π，故条件式cos(A－C)＋cosB＝32可化为只含A与C的表达式．由正弦定理可将条件式b2＝ac化为角的表达式sin2B＝sinA·sinC，进而可解出角B.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析]由cos(A－C)＋cosB＝32及B＝π－(A＋C)得cos(A－C)－cos(A＋C)＝32，∴cosAcosC＋sinAsinC－(cosAcosC－sinAsinC)＝32，∴sinAsinC＝34.又由b2＝ac及正弦正理得，sin2B＝sinAsinC，第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5故sin2B＝34，sinB＝32或sinB＝－32(舍去)，于是B＝π3或B＝2π3.若B＝2π3，则cos(A－C)＝32－cosB＝2，这不可能，所以B＝π3.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin2A－π4的值．第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析](1)在△ABC中，根据正弦定理得，ABsinC＝BCsinA.于是AB＝BC·sinCsinA＝2BC＝25.(2)在△ABC中，根据余弦定理得，cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝255，于是sinA＝1－cos2A＝55.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5从而sin2A＝2sinAcosA＝45，cos2A＝cos2A－sin2A＝35.所以sin2A－π4＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝210.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5命题方向三角形的面积公式[例2]在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边．若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.[分析]由cosB2可求得cosB、sinB，由△ABC内角关系及边a用正弦定理可求b(或c)，再代入面积公式可求面积．第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析]由题意得，cosB＝2cos2B2－1＝35，∴B为锐角，sinB＝1－cos2B＝45，sinA＝sin(π－B－C)＝sin3π4－B＝7210，由正弦定理得c＝asinCsinA＝107，∴S＝12ac·sinB＝12×2×107×45＝87.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5(2012·新课标全国理，17)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析](1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0，由于sinC≠0，所以sin(A－π6)＝12.又0Aπ，故A＝π3.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5[点评]本题综合考查了三角形中的三角恒等式的化简，利用两角和的公式，辅助角公式以及正弦余弦定理．本题是常规题目，但紧扣考试说明，万变不离其“本”(教材).第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5命题方向方程思想[例3]在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5[分析]欲求BC，在△BCD中，已知∠BCD，∠BDC可求，故须再知一条边；而已知∠BDA和AB、AD，故可在△ABD中，用正弦定理或余弦定理求得BD.这样在△BCD中，由正弦定理可求BC.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析]在△ABD中，设BD＝x，由余弦定理：BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得：x2－10x－96＝0，解之：x1＝16，x2＝－6(舍去)，由正弦定理得：BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，∴BC＝16sin135°·sin30°＝82.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5(2010～2011·河南汤阴县一中高二期中)在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a＝2csinA.(1)确定角C的大小；(2)若c＝7，且△ABC的面积为332，求a＋b的值．第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析](1)由3a＝2csinA及正弦定理得，3sinA＝2sinCsinA.∵sinA≠0，∴sinC＝32.∵△ABC是锐角三角形，∴C＝π3.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5(2)∵C＝π3，△ABC面积为332，∴12absinπ3＝332，即ab＝6.①∵c＝7，∴由余弦定理得a2＋b2－2abcosπ3＝7，即a2＋b2－ab＝7.②由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5探索延拓创新第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5命题方向综合应用[例4]在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，B＝π3，cosA＝45，b＝3.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5[分析](1)已知角B和cosA，利用内角和定理及两角和与差的三角函数，可求sinC.(2)利用正弦定理求三角形面积需要两边及夹角，已知边b及三内角，可利用正弦定理再求出一边，然后求面积．第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析](1)∵角A、B、C为△ABC的内角，且B＝π3，cosA＝45，∴C＝2π3－A，sinA＝35.∴sinC＝sin2π3－A＝32cosA＋12sinA＝3＋4310.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5(2)由(1)知sinA＝35，sinC＝3＋4310.又∵B＝π3，b＝3，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝65.∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5(2010～2011·山东苍山高二期中)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2＋c2－b2＝3ac.(1)求角B的大小；(2)求cosA＋sinC的取值范围．第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析](1)∵a2＋c2－b2＝3ac，∴cosB＝32，∵0Bπ，∴B＝π6.(2)cosA＋sinC＝cosA＋sinπ－π6－A＝cosA＋sinπ6＋A＝cosA＋12cosA＋32sinA＝3sinA＋π3，∵△ABC为锐角三角形，A＋C＝5π6，第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5∴0Aπ205π6－Aπ2，∴π3Aπ2，∴2π3A＋π35π6，∴12sinA＋π332.∴323sinA＋π332.所以，cosA＋sinC的取值范围为32，32.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5名师辩误做答第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5[例5]在△ABC中，角A，B，C满足2B＝A＋C，B的对边b＝1，求a＋c的取值范围．[错解]∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝π3，C＝2π3－A，∴a＋c＝bsinAsinB＋bsinCsinB＝233(sinA＋sinC)＝233[sinA＋sin(2π3－A)]第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5＝3sinA＋cosA＝2sin(A＋π6)，∵0Aπ，∴π6A＋π67π6，∴－12sin(A＋π6)12，∴－1a＋c1，又a＋c0，∴0a＋c1.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5[辨析]错解中前面还照顾到了A与C的相互制约关系，后面在讨论sin(A＋π6)的取值范围时又忽略了．误把(0，π)作为A的取值范围；另一处错误是，由π6A＋π67π6得出－12sin(A＋π6)12，事实上sinx在(π6，7π6)上不单调．第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5[正解]在原解答中把“∵0Aπ”后面的去掉，换为∵0Aπ0CπC＝2π3－A，∴0A2π3，∴π6A＋π65π6，∴12sin(A＋π6)≤1，∴1a＋c≤2.第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5课堂巩固训练第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5一、选择题1．在△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosB＝cosC，则△ABC的形状是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案]A第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析]由cosB＝cosC知B＝C，由3b＝23asinB，得3sinB＝23sinAsinB.即sinA＝32，所以A＝π3.因而△ABC为等边三角形．第一章1.1第3课时成才之路·数学·人教A版·必修52．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的