1-7 克拉默法则

第七节克拉默法则第一章行列式㈡重要定理小结思考题作业㈠克拉默法则目录上页下页㈠克拉默法则上页下页目录【克拉默法则】如果系数行列式，0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD设线性方程组(含n个方程n个未知量)nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111上页下页目录则，线性方程组有唯一解)21(,n,,jDDxjj其中Dj是用方程组的常数项b1,b2,…,bn替换D中的第j列所成的行列式，即nnjnnjnnnjjnjjjaabaaaabaaaabaaD1,1,121,221,22111,111,111上页下页目录证nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111对n个方程的两端，分别依次乘A1j,A2j,…,Anj(即D的第j列元素的代数余子式)，jA2jA2jA1jA1njAnjA再把n个方程的两端相加，得,111111nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa上页下页目录根据代数余子式的性质，于是.jjDDx当D0时，.DDxjj上式右端，.jnkkjkDAb1上式左端，xj的系数,DAankkjkj1DDxDDxDDxnn,,,2211分别取j=1,2,…,n，得是方程组的唯一解.其余xi的系数；)(01jiAankkjki上页下页目录例1用克拉默则解方程组067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解6741212060311512D027方程组有唯一解.上页下页目录67402125603915181D8167012150609115822D10860412520693118123D2707415120903185124D27上页下页目录32781DDx11427108DDx22DDx3312727DDx4412727上页下页目录说明克拉默法则揭示了线性方程组的解与方程组的系数、常数项之间的关系.对于一般的线性方程组(包括系数行列式等于零、以及方程个数和未知量个数不同的线性方程组)，常规解法是后面第三章介绍的“高斯消元法”.用克拉默法则解线性方程组的计算工作量很大，它主要是在理论上具有重要意义.上页下页㈡重要定理目录说明第三章将证明，定理的逆命题成立，于是对于非齐次线性方程组(方程个数=未知量个数)，有唯一解系数行列式D0.上页下页目录根据克拉默法则，有如下定理【定理】对于非齐次线性方程组),,2,1(1nibxainjjij如果系数行列式D0，则方程组有唯一解.或者，无解或有多组不同的解系数行列式D=0.说明第三章将证明，定理的逆命题成立，于是对于齐次线性方程组(方程个数=未知量个数)，只有零解系数行列式D0.上页下页目录【定理】对于齐次线性方程组),,2,1(01nixanjjij注容易验证，齐次线性方程组总是有一组零解.如果系数行列式D0，则方程组只有零解：或者，(除零解外)有非零解系数行列式D=0.上页下页目录例2问取何值时，齐次线性方程组有非零解？010320421321321321xxxxxxxxx分析齐次线性方程组有非零解的充要条件是：0111132421D上页下页目录12cc13)1(cc解111132421D121)1)(3(31)1(13按第三行展开121)1(1)3(对第一行提取公因子1)1(2112)1(431200上页下页目录当=0,2或3时，D=0，齐次方程组有非零解.)2()3()2)(3(2上页下页目录小结思考题作业上页下页目录小结1.用克拉默法则解方程组的两个条件：(1)方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零.2.对于非齐次线性方程组(方程个数=未知量个数)，方程组有唯一解系数行列式D0或：方程组无解或有多组解系数行列式D=03.对于齐次线性方程组(方程个数=未知量个数)，方程组只有零解系数行列式D0或：方程组有非零解系数行列式D=0上页下页目录问：齐次线性方程组作业有非零解时，a,b必须满足什么条件？0030204321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxaab上页下页目录思考题设n次多项式有n+1个互不相同的根.nnxaxaxaaxf2210)(用克拉默法则证明：f(x)是零多项式.注：零多项式是指f(x)中a0,a1,a2,…,an全为0上页下页目录思考题解答上式可看作是以a0,a1,…,an为未知量的齐次线性方程组，其系数行列式为设x1,x2,…,xn+1是f(x)=0的n+1个互不相同的根，000121111022212101211110nnnnnnnnnxaxaxaaxaxaxaaxaxaxaa即上页下页目录nnnnnnnxxxxxxxxxxxxD12113233222212111111DT是n+1阶范德蒙得行列式，且x1,x2,…,xn+1互不相同，故0)(11nijjiTxxDD根据克拉默法则，齐次线性方程组只有零解，即f(x)是零多项式.上页下页目录第一章要点、典型题型、作业、自测题[e-mail]/123abc