浅谈函数的一致连续性

浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州121000中国）摘要：在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打下了坚实的基础。再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。使人们能够对它们有个全面的了解。关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。Abstract:Inthemathematicalanalysisofuniformlycontinuousfunctionisaveryimportantposition,itsdefinitioninthemathematicalanalysisisalsoadifficulty.Thisarticlemainlyfromtheconsistentcontinuousfunctionintuitiveunderstandingofdeepintothepureanalysisargument,onlyfromthestartwiththenatureofuniformlycontinuousfunctionitself.Firstofall,thispaperdevotesalotofspacegivestheproofofuniformcontinuityofafunctionandartificialsystemaresummarized,theproofofuniformcontinuityofafunctionmethodsintofourparts:theuseofnestedintervaltheorem,compacttheorem,coveringtheoremaswellasthisprinciplefourmethodsproveduniformcontinuitytheorem.Secondly,thispapergivesauniformlycontinuousfunctiondeterminationmethodsandproperties,forustotheuniformlycontinuityoffunctionapplicationtolayasolidfoundation.Again,inthispaper,adetaileddescriptionofthesystemofuniformcontinuityofafunctionandrelationofcontinuousfunction,solvethecontinuousfunctionandtheuniformcontinuityofmutualtransformationproblem.Finally,introducedtheuniformcontinuityofafunctionisdescribedanditsextension.Toenablepeopletohaveacomprehensiveunderstandingoftheir.Keywords:Uniformcontinuity,uniformcontinuitytheorem,uniformcontinuityproperties,continuousfunction,uniformcontinuityjudgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。一致连续性函数有着许多性质，而实数的连续性和闭区间的紧致性使得闭区间上的连续函数更有着丰富的性质，以下就简单介绍一下一致连续性的定义、定理、判定、性质以及其延拓。一、一致连续的概念定义：设函数)(xf在区间（有限、无限、开、闭、半开半闭等皆可）I上有定义，若对任意的0，存在正数()即（与有关），使得对I中的任意两点x，x只要x-x就有()(fxfx)则称)(xf在区间I上一致连续。分析：在区间I上一致连续与（处处）连续的主要区别在于前者的仅与有关），只要I中的距离x-x不管它们落在区间I的什么地方，都有()(fxfx)，通俗地说，)(xf在I中的各点的连续程度是一致的，而后者的却不仅与有关而且还与点0x有关0,x因此后者可能)(xf在I中的各点的连续程度很不一致。这里可能有人会想：既然对I中的每一点0x都能找到相应的0,x，那么取这些0,x最小者或下确界作为正数()不就可以使其与点0x无关了吗？事实上这未必是能办到的，原因是区间I中有无限多个点，对应着无限多个正数0,x，这无限多个正数未必有最小的正数，而对应点取下确界就可能是零了。如例题中0,x=001xx对00,1x取下确界就是零，而不是正数了。函数)f(x在区间I上一致连续的几何解释是：对任给的0总存在0，使得以为底，为高的矩形能从曲线弧一端沿曲线平移到另一端，而不发生曲线弧与矩形上下底相交的情形，这个与点位置无关的公共的正数()的存在性表明了函数在区间中各点的“连续程度”是一致的，这正是一致连续的缘故。由定义可以知道：（1）)(xf在区间I上一致连续，必在I的任一子区间上一致连续。（2）)(xf在区间I上一致连续，必在I上连续。（这只要把一致连续定义中x看作I中的任一点就行了）（3）)(xf在区间I上不一致连续的含义应该是：存在某个00对任意0（不论有多小）在I中总可以找到两点1x，2x使得12xx，而120()()fxfx例题1.证明：xxf1)(在,a（其中0a）上一致连续，xxg1sin)(在1,0上不一致连续。证明：（1）对0，取,2aa，当xx时，2211aaxxxxxxxx由一致连续的定义知x1在,a（0a）中一致连续。（2）xxg1sin)(，在1,0内取)1(2,1nxnxnn取210，对任意0，只要n充分大总有)1(2nnxxnn，012)1(sin2sin)()(nnxfxfnn∴)(xf在1,0上不一致连续。例题2.证明2()fxx在有限区间,aa上一致连续，但在0,上不一致连续。证明：（1）设任意的x，x,aa因xxxxf(x)-f(x)2axx故对任给的0取正数2a，则当x-x时，就有()()2fxfxa就证明了2()fxx在,aa上一致连续。（2）注意到对0,中的任何x，均有2221()11fxfxxx221111xxxxx要使点x与21x的距离小于，只需取1x因此，存在01对任意的0，取11x，2211x0,便有12xx而120()1fxfx，故2()fxx在0,上不一致连续。例题3.设0,1sin12)(axxxxf为任一正常数，试证：)(xf在a,0内非一致连续，在,a上一致连续。证明：（1）证明)(xf在,a上一致连续。证明)(xf在,a满足Lipschitz条件，,,axx，xxxxxxxxxxxxxfxf1sin121sin121sin121sin12)()(211sin211cos2121212xxxxxxxxxx2112)111()1)(1(xxxxxxxxxLxxaaaa))1(2)1(1(22从而L,0，当Lxx时，)()(xfxf。（2）证明)(xf在a,0内非一致连续。取221,221nxnxnn（n=1,2，…），则n充分大时，),0(,axxnn，且044222nxxnn（当n时），但21221412214)()(nnnnxfxfnn则)(xf在a,0内非一致连续。例题4.若)(xf在,0上连续，Axfx)(lim存在，则)(xf在,0上一致连续。证明：因为Axfx)(lim，由柯西准则，0，存在0M，当Mxx21,有)()(21xfxf①又由于)(xf在1,0M上连续，从而一致连续。故对上述0，存在01，当1,0,43Mxx且143xx时，有)()(43xfxf②取1,min1，则,0,xx且xx时，则或者1,0,Mxx或者Mxx,，由①，②均有)()(xfxf此即证)(xf在,0上一致连续。例题5.若函数f在区间I上满足利普希茨条件：2121)()(xxLxfxf，Ixx21,则f在I上一致连续。证明：0，取L，则当Ixx21,，且21xx时LLxxLxfxf2121)()(，则f在I上一致连续。在区间上连续的函数未必在该区间上一致连续，在对区间上的函数而言，处处连续与一致连续是等价的。二、一致连续性定理一致连续性定理：若函数fx在闭区间,ab上连续，则函数fx在闭区间,ab上一致连续。即若0，0，对1x、2x,ab有：12xx12fxfx则称函数fx在闭区间,ab上一致连续。证法一（应用区间套定理证明）用反证法。倘若连续函数fx在闭区间,ab上不一致连续，即存在某一正数00，对任何0，在闭区间,ab上恒存在相应两点x、x，尽管x-x，但有：fxfx0下面我们将证明这一论断与函数fx在闭区间,ab上连续性的假设相矛盾。现将闭区间,ab三等份（如图）：a1c2cb那么在,ab的子区间2,ac和1,cb中至少有一个子区间具有如下性质：P：对这个0，无论任何正数，在这个子区间上总存在两点x、x，尽管x-x，但有fxfx0。如果这两个子区间都不具有性质P，那么对这个0，分别存在正数1、213ba。对2,ac中任意两点1x、1x和1,cb中任意两点2x、2x，只要11xx1，22xx2就有：110fxfx220fxfx……（）因此，令=min12,，则对闭区间,ab上任意两点x、x，只要x-x，由式便有：0fxfx而这与最初假设函数fx在闭区间,ab上不一致连续相矛盾，现把具有性质P的子区间记为11,ab（若两个子区间都具有性质P，则任选其中一个子区间记为11,ab）且有：11,,abab1123baba再将11