工程水文学第六章水文统计

6.1概述研究随机现象统计规律的学科称为概率论，而由随机现象的一部分试验资料去研究全体现象的数量特征和规律的学科称为数理统计学。由于水文现象具有一定的随机性，用数理统计方法来分析研究这些现象称为水文统计学。第六章水文统计6.2概率的基本概念一、事件事件是指随机试验的结果。必然事件：如果可以断定某一事件在试验中必然发生，称此事件必然事件。不可能事件：可以断定试验中不会发生的事件称为不可能事件。随机事件：某种事件在试验结果中可以发生也可以不发生，这样的事件就称为随机事件。二、概率随机事件在试验结果中可能出现也可能不出现，但其出现（或不出现）可能性的大小则有所不同。为了比较这种可能性的大小，必须赋于一种数量标准，这个数量标准就是事件的概率。6.2概率的基本概念三、频率水文事件不属古典概率事件，只能通过试验来估算概率。设事件在ｎ次试验中出现了ｍ次，则称为事件A的频率。6.2概率的基本概念掷币试验出现正面的频率表试验者掷币次数出现正面次数频率蒲丰404020400.5080皮尔逊1200060180.5016皮尔逊24000120140.5006在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概率是十分接近的。6.2概率的基本概念Ｐ（Ａ＋Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）式中，Ｐ（Ａ＋Ｂ）－事件Ａ与Ｂ之和的概率；Ｐ（Ａ）－事件Ａ的概率；Ｐ（Ｂ）－事件Ｂ的概率。Ｐ（ＡＢ）－事件Ａ和Ｂ共同发生的概率。四．概率加法定理和乘法定理１．概率加法定理6.2概率的基本概念2、概率乘法定理Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ／Ａ）＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ／Ｂ）式中，Ｐ（Ａ／Ｂ）－事件Ａ在事件Ｂ已发生情况下的概率，简称为Ａ的条件概率。Ｐ（Ｂ／Ａ）－事件Ｂ在事件Ａ已发生情况下的概率，简称为Ｂ的条件概率。对于两个独立事件：Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）6.2概率的基本概念AB互斥P（AB）＝0P（A＋B）＝P（A）＋P（B）AB相容P（AB）＝P（A）P（B/A）＝P（B）P（A/B）ABP（A）＋P（B）＝1P（A）＝1－P（B）P（B）＝1－P（A）对立AB独立P（AB）＝P（A）P（B）P（A/B）＝P（A）P（B/A）＝P（B）例：某地区位于河流甲与乙的汇合点。当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛滥的概率为0.1，河流乙泛滥的概率为0.2；又知当河流甲泛滥时，河流乙泛滥的概率为0.3。求在该时期内这个地区被淹没的概率。又当河流乙泛滥时河流甲泛滥的概率？例：某地区位于河流甲与乙的汇合点。当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛的概率为0.1，河流乙泛滥的概率为0.2；又知当河流甲泛滥时，河流乙泛滥的概率为0.3。求在该时期内这个地区被淹没的概率。又当河流乙泛滥时河流甲泛滥的概率？解：记河流甲泛滥为事件Ａ，河流乙泛滥为事件Ｂ。这个地区被淹没的概率为：Ｐ（A＋B）＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（AB）＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（B／A）Ｐ（A）＝0.1＋0.2－0.3×0.1＝0.27由于Ｐ（A／B）Ｐ（B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A）故当河流乙泛滥时，河流甲泛滥的概率为＝0.3×0.1/0.2＝0.15Ｐ（A／B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A）/Ｐ（B）6.3随机变量及其概率分布一、随机变量随机变量是表示随机试验结果的数量表示，随机变量可分为两大类型：离散型随机变量，连续型随机变量。水文随机变量一般指水文特征值，属于连续型随机变量。二、随机变量的概率分布随机变量的取值与其概率有一定的对应关系，称为随机变量的概率分布，数理统计学上记为F（x）＝P（X≤x），称为随机变量的概率分布函数。水文统计中通常研究随机变量的取值大于某一个值的概率，F（x）＝P（X＞x）在水文统计学上也称此为随机变量的概率分布函数（或概率分布曲线）。某雨量站的年雨量分布曲线0.60.40.211001000900800700x0.81.0P（X＞x）若x＝800mm，由分布曲线知P（X＞800）＝0.6，表明年雨量超过800mm的概率等于60％。年雨量在800mm～900mm间的概率是多少呢？这就要讨论的随机变量落在某区间（x，x＋Δx）内的概率，可用下式表示：P（x＋Δx＞X≥x）＝F（x）－F（x＋Δx）从图3—1得:F（800）＝0.60；F（900）＝0.21故：P（900＞x≥800）＝0.60－0.21＝0.39年雨量落在800mm至900mm之间的可能性是39％。函数f（x）＝-F’（x）为概率密度函数，简称为密度函数或密度曲线。f(x)xf(x)dxdx概率密度函数f(x)x密度函数F(xp)=P(Xxp)xpf(x)xxp概率分布函数与密度函数关系F(xp)=P(Xxp)F(x)F(xp)x三、随机变量的统计参数概率分布曲线完整地刻划了随机变量的统计规律。但在一些实际问题中，有时只要知道概率分布某些特征数值。这种以简便的形式显示出随机变量分布规律的某些特征数字称为随机变量的统计参数。统计参数有总体统计参数与样本统计参数之分。水文计算中常用的样本统计参数有均值、均方差、变差系数和偏态系数。1.均值均值表示系列中变量的平均情况。设某水文变量的观测系列（样本）为x1,x2，…,xn，则其均值为:令,称模比系数，则:xxkiiik2.均方差均方差是反映系列中各变量集中或离散的程度。研究系列集中或离散程度，常采用方差或均方差，计算公式为2均方差对频率曲线的影响σ1σ23．离势系数（离差系数，变差系数）例如:甲地区的年雨量分布，＝1200mm，均方差σ1＝360mm；乙地区的年雨量分布，＝800mm，均方差σ2＝320mm。尽管σ1＞σ2，但是＞，应从相对观点来比较这两个分布的离散程度。采用一个无因次的数字来衡量分布的相对离散程度，称为离势系数1x2x2x1xxcv4．偏态系数（偏差系数）反映分布是否对称的特征CS参数，记为用来表征分布不对称的情况。当密度曲线对EX对称，CS＝0；若不对称，当正离差的立方占优时，CS＞0，称为正偏；当负离差的立方占优势时，CS＜0，称为负偏。Cs＞0Cs＝0Cs＜0Cs对密度曲线的影响水文分析计算中使用的概率分布曲线俗称水文频率曲线，习惯上把由实测资料（样本）绘制的频率曲线称为经验频率曲线，而把由数学方程式所表示的频率曲线称为理论频率曲线。所谓水文频率分布线型是指所采用的理论频率曲线(频率函数)的型式，目前不论哪种线型都缺乏物理依据，它的选择主要取决于与大多数水文资料的经验频率点据的拟合情况（皮尔逊III型分布）。6.4.1分布线型6.4.1.1正态分布概率密度函数形式：式中，—平均数σ—标准差正态分布在误差估算时将会应用。x6.4水文频率计算正态分布密度曲线f(x)68.3%xxx6.4.1.2皮尔逊Ⅲ型分布皮尔逊III型曲线为一端有限一端无限的不对称单峰曲线，概率密度函数式中，α，β，a0－参数，且有：如果已知设计值xP，推求xp取决于p、α、β和αO四个数，并且当α、β、αO三个参数为已知时，则xp只取决于p了。α、β、αO与分布曲线的EX，CV和CS有关，因此只要确定EX、CV和CS，xp仅与p有关，可以由p唯一地来计算xp。P－3型分布的积分无解析解，实用中制表查用。取标准化变量Ф（离均系数）将之代入式（3—22）得被积函数只含一个参数CS。只要给定CS就可以算出ФP和P的对应值，最终制定出ФP～Cs～p的对应数值表（表3－2）。由给定的CS及p从表3—2查出ФP，通过xP＝（ФPCV＋1）EX即可决定出xP。因此，已知EX，CV，CS就可求出与各种p值相应的xP值，也就可以绘制分布曲线或频率曲线。例如，已知某地年平均雨量EX＝1000mm、CV＝0.5、CS＝1.0，求p＝1%的设计年雨量。由CS=1.0，p＝1%查得ФP=3.02，X1%=（ФPCv＋1）EX＝（3.02×0.5＋1）1000＝2510（mm）CSp在频率计算时，由已知的Cs值，查Φ值表得出不同的P的Φ，然后利用已知的EX、Cv，通过Φ公式即可求出与各种P相应的x，从而可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。把频率曲线画在普通方格纸上，频率曲线的两端特别陡峭，又因图幅的限制，对于特小频率或特大频率，尤其是特大频率的点子很难点在图上。频率格纸，就能较好地解决这个问题，所以在频率计算时，一般都是把频率曲线点绘在频率格纸上。频率格纸频率格纸(0.01,3.720),(50,0.000)6.4.2频率曲线参数估算在概率分布函数中包含有，CV，CS三个参数。为了唯一确定概率分布函数，就得估算这些参数。一、样本估计总体随机变量所取数值的全体称为总体，从总体中任意抽取的一部分称为样本，样本中所包括的项数称为样本容量。水文变量的总体是指自古迄今以至未来长远岁月所有的水文系列，是不知道的，需要靠观测到的样本去估计总体参数。现有的水文观测的系列可以当作总体的一个随机样本来处理。x随着样本容量的增即随着观测次数的增加，频率w就非常接近于概率p，经验分布曲线就非常接近于总体分布曲线。在某种程度上由样本的经验分布来推测总体分布，总体的参数就可以通过抽出的样本（观测的系列）来加以估算。（1）样本的均值X，即（2）样本标准差S‘，即（3）样本离势系数CV‘，即矩法公式（4）样本偏态系数CS’，即只要掌握了样本，借助上列公式估计出参数；就可推出概率分布曲线，这种方法叫做矩法。注意：以上样本参数不等于总体参数！原矩法公式得出的S‘，CV‘，和CS’并不是无偏估计量，目前水文上采用的是经修正后的矩法公式:用一个样本的统计参数来代替总体的统计参数是存在一定误差的，这种误差是由于从总体中随机抽取的样本与总体有差异而引起的，与计算误差不同，称为抽样误差。抽样误差一、经验频率根据实测水文资料，按从大到小的顺序排列，然后用经验频率公式计算系列中各项的频率，称为经验频率。以水文变量x为纵坐标，以经验频率P为横坐标，点绘经验频率点据，根据点群趋势绘出一条平滑的曲线，称为经验频率曲线。6.4.2.2适线法经验频率的计算目前我国水文计算广泛采用的是数学期望公式:式中p-等于和大于xm的经验频率；m-xm的序号，即等于或大于xm的项数；n-系列的总项数。某地年降雨量经验分布曲线020406080100p（%）x12001000800二、经验频率曲线p（X≥xi）＝i/n+1经验频率曲线存在的问题经验频率曲线计算工作量小，绘制简单，查用方便，但受实测资料所限,往往难以满足设计上的需要。为此，提出用理论频率曲线来配合经验点据，这就是水文频率计算适线法。频率这个词比较抽象，为便于理解，有时采用重现期这个词。所谓重现期是指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次，又称多少年一遇。在工程水文中，重现期用字母T表示，一般以年为单位。频率与重现期的关系(6)今后10年内不发生超标准洪水的概率(7)今后10年内发生超标准洪水的概率(8)今后10年内堤防受破坏的概率三、目估适线法根据经验频率分布点据，找出与之配合最佳的频率曲线，其相应的分布参数，作为总体分布参数的估计值。（1）点绘经验点据纵坐标为变量值，横坐标为经验频率，采用期望值公式估计。（2）初定一组参数用矩法公式的估算EX和CV，并假定CS与CV的比值K估算CS。（3）根据初定的EX、CV和CS，计算频率曲线，并绘在点有经验点据的图上。若与经验点据配合不理想，则修改参数再次配线，主要调整CV以及CS。（4）选择一条与经验点据配合最佳曲线作为采用曲线。该曲线的参数看作总体参数的估计值。计算步骤：为了避免修改参数的盲目性，需要了解参数对频率曲线的影响。由频率曲线图可明显看出，CV值愈大，曲线愈陡；当CS增大时，曲线上段变陡而下段趋于平缓。配线法采用了概率格纸，以正态分布曲线成直线来划分概率坐标的。当CS＝0，频率曲线在概率纸上为一直线。其特点是横坐标的两端分格较稀而中间较密，纵坐标为均匀分格或对数分格。这样，曲线两端的坡度变缓，使用起来比较方便。某站年降水量频率计算表某站共有实测降水量资料24年，求频率为10%和90%的年降水量。（1）将原始资按大小次序排列，列入表（4）