有限元法数学基础

微分方程的等效积分形式加权余量法和变分原理科学和工程问题的微分方程表示：12()()()0AAuAuu（在域V内）加权余量法和变分原理未知场函数u在域V的边界S上应满足边界条件：12()()()0BBuBuu（在边界S上）未知函数u可以是标量场或向量场。A、B是表示对于独立变量（如空间坐标、时间坐标）的微分算子。微分方程数应和未知场函数的数目相等。加权余量法和变分原理V1122d()()d0TVVVvAvAVVAuuu1122d()()d0TSSSvBvBSVBuuu由于上两式分别在域V内和边界S上的每一点都必须为零，所以对于任意的函数向量V和，恒有：积分形式对于所有的V和都成立等效于满足微分方程和边界条件，称为微分方程的等效积分形式。加权余量法和变分原理d()d0TTVSVSVAuVBuV加权余量法加权余量法和变分原理微分方程和边界条件所表达的物理问题的精确解往往难以求得，可用近似函数来表示未知的场函数：1niiiuuNaNaia待定参数iN试探函数（基函数、形函数）其中试探函数的选择条件：①应满足未知函数本身需满足的强制边界条件（例如位移边界条件）；②应满足由微分方程的阶数所决定的连续性要求。加权余量法和变分原理通常在近似函数取有限项的情况下，近似解不能精确满足微分方程和全部边界条件，而会产生余量（残差）：加权余量法和变分原理()ANaR()BNaR用n个给定的函数向量Wj和来代替等效积分式中的V和，可得加权余量法和变分原理jWVdd0(1~)TTjjVSVSjnWANaWBNa上式的意义是：通过选择待定系数ai，强迫余量在某种平均意义上等于零。式中Wj和称为权函数。令上式等于零可得到一组求解方程，用以确定待定系数ai，从而得到原问题的近似解。采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。jW加权余量法和变分原理任何独立的完全函数集都可以用来作为权函数，对于Galerkin法来说，取近似解的试探函数作为权函数，即jjWNjjjWWN则近似积分式成为dd0(1~)TTjjVSVSjnNANaNBNa在很多情况下，采用Galerkin法得到的求解方程的系数矩阵是对称的，因此用加权余量法建立有限元格式时都采用此法。变分原理加权余量法和变分原理设u是未知函数，F和E是u及其偏导数的函数，V是求解域，S是V的边界，则如下积分形式∏称为未知函数u的泛函，∏随函数u的变化而变化，即它是未知函数的函数。(,,)d(,,)dVSΠVSxxuuFuEu变分法所研究的是如何求得使泛函∏取驻值的函数u，以及驻值点的性质（极大值、极小值或驻值）。泛函∏取驻值的条件是，对于函数u的微小变化δu，泛函的变分（即变化量）δ∏等于零，即加权余量法和变分原理δ0许多物理问题可以表达为泛函的极值问题，采用变分法求解，这种求解方法称为变分原理。Ritz法加权余量法和变分原理设未知函数的近似解由一族带有待定参数的试探函数表示1niiiuuNaNa其中a是待定参数，N是已知函数。将上式代入泛函∏的表达式，得到用试探函数和待定参数表示的泛函。泛函的变分为零相当于将泛函对所包含的待定参数进行全微分，并令所得的方程等于零，即加权余量法和变分原理1212δδδδ0nnaaaaaa由于δa1，δa2，…是任意的，满足上式时必然有，，…都等于零，因此可以得到一组方程：1a2a120Tnaaaa这是与待定参数a的个数相等的方程组，用以求解a。这种求泛函近似解的直接方法叫做Ritz法。弹性力学中的变分原理加权余量法和变分原理作为上述微分方程的等效积分形式以及变分原理的一个示例，我们在此讨论虚位移原理和虚应力原理以及线弹性力学的最小位能原理。（在V内）静力问题的平衡方程和力边界条件为,0ijjib（一）虚位移原理0ijjinp（在Sp上）加权余量法和变分原理,()d()d0piijjiiijjiVSubVunpS采用Galerkin法，权函数可分别取为真实位移的变分δui（运动学许可的位移增量场）及其边界值（取负值），于是可得等效积分利用奥高公式，对上式第一项进行分部积分，并注意到σij的对称性，δui是运动学许可的虚位移，得加权余量法和变分原理将上式代入等效积分式，可得虚位移原理(δδ)dδd0pijijiiiiVSubVupS,,,1ddd2ddppiijjijjiijiijjVVSijijiijjVSuVuuVunSVunSδdδdδdpijijiiiiVVSVbuVpuS或加权余量法和变分原理虚位移原理的力学意义是：如果力系是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作之功的总和为零。反之，如果力系在虚位移（及虚应变）上所作之功的和等于零，则它们一定是满足平衡的。因此，虚位移原理表述了力系平衡的充要条件。由虚位移原理可推导出以位移为基本未知量的位移法有限元方程。加权余量法和变分原理（二）虚应力原理几何方程和位移边界条件的等效积分为,,1δ[()]dδ()d02uijijijjiiiiVSuuVpuuS其中权函数分别取真实应力的变分δσij(静力学许可的应力场）及其相应的边界值δpi。加权余量法和变分原理δdδd0uijijiiVSVpuS经分部积分可得虚应力原理：虚应力原理表述了位移协调的充要条件，由虚应力原理可推导出以应力为基本未知量的力法有限元方程。我们指出：无论是虚位移原理或虚应力原理，他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理论的，所以它们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题。加权余量法和变分原理（三）线弹性力学的最小位能原理将线弹性材料的本构方程eijijklklC代入虚位移原理，有(δδ)dδd0peijijklkliiiiVSCubVupS加权余量法和变分原理由于的对称性eijklC1δδδ()2eeijijklklijklijklmnCCU为单位体积的（弹性）应变能，可见*式中体积分的第一项就是单位体积应变能的变分。()mnUδdeijijklklVCV加权余量法和变分原理在线弹性力学中，假定体积力bi和边界上面力的大小和方向都是不变的（其变分为零）。与重力及势能的关系相类似，可定义与体力及面力相关的位势函数φ(ui)和ψ(ui)，使得δ()δδ()δiiiiiiubuupu将式(**)和式(***)代入式(*)，就得到δ0pip加权余量法和变分原理(,)[()()]d()d1dd2ppppijiijiiVSeijklijkliiiiVSuUuVuSCbuVpuS∏p是系统的总位能，它是弹性体变形能和外力位能之和。其中加权余量法和变分原理式表明：在所有在域内满足几何方程，在边界上满足给定位移边界条件的运动学许可位移中，真实位移使系统的总位能取驻值。还可以进一步证明在所有运动学许可位移中，真实位移使系统总位能取最小值。因此式所表述的称为最小位能原理。利用最小位能原理求得的位移近似解的弹性变形能是真解变形能的下界，近似的位移场在总体上偏小，结构的计算模型显得偏于刚硬。δ0pδ0p