七年级因式分解

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【因式分解】讲义知识点1:分解因式的定义1、分解因式:把一个多项式化成几个_整式的乘的积,这种变形叫做分解因式,它与整式的乘法互为逆运算。例如:判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式:①8)3)(3(892xxxx()②)49)(49(4922yxyxyx()③9)3)(3(2xxx()④)2(222yxxyxyxyyx()知识点2:公因式公因式:定义:我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。公因式的确定:(1)符号:若第一项是负号则先把负号提出来(提出负号后括号里每一项都要变号)(2)系数:取系数的最大公约数;(3)字母:取字母(或多项式)的指数最低的;(4)所有这些因式的乘积即为公因式;例如:1、的公因式是多项式963ab-abyabx_________2、多项式3223281624abcababc分解因式时,应提取的公因式是3、342)()()(nmmnynmx的公因式是__________知识点3:用提公因式法分解因式提公因式法分解因式:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式的乘积,这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如:1、可以直接提公因式的类型:(1)3442231269bababa=_______________(2)11nnnaaa=____________(3)542)()()(babaybax=_____________(4)不解方程组23532xyxy,求代数式()()()22332xyxyxxy的值2、式子的第一项为负号的类型:(1)①33222864yxyxyx=_____________②243)(12)(8)(4nmnmnm=(2)若被分解的因式只有两项且第一项为负,则直接交换他们的位置再分解(特别是用到平方差公式时)如:22188yx=1、多项式:abyabxab24186的一个因式是ab6,那么另一个因式是2、分解因式-5(y-x)3-10y(y-x)33、公因式只相差符号的类型:公因式相差符号的,要先确定取哪个因式为公因式,然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来,使其统一于之前确定的那个公因式。(若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置,如:)()()()(1-x-yx-yx-y-x-y)(-)(55656xyyx例:(1)(b-a)2+a(a-b)+b(b-a)(2)(a+b-c)(a-b+c)+(b-a+c)·(b-a-c)(3)aababaabba()()()322221、把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于2、多项式)3()3(3yxyx的分解因式结果3、分解因式:(1))(()()(yxxynyxm)(2)-6(x-y)4-3y(y-x)5知识点4、公式法分解因式公式法分解因式:如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法。一、平方差公式分解因式法平方差公式:两个数的平方差,等于这两个的和与这两个数的差的积。即a2-b2=(a+b)(a-b)特点:a.是一个二项式,每项都可以化成整式的平方.b.两项的符号相反.例如:1、判断能否用平方差公式的类型(1)下列多项式中不能用平方差公式分解的是()A、-a2+b2B、-x2-y2C、49x2y2-z2D、16m4-25n2p2(2)下列各式中,能用平方差分解因式的是()A.22yxB.22yxC.22xyxD.21y2、直接用平方差的类型:22916yx1252x14x3、整体的类型:22)(nnm22)32()(yxyx4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型m3—4m=.aa3.练习:将下列各式分解因式100x2-81y29(a-22241xxb)2-(x-y)2;5aaxx93)()(3nmnm3)2(4)2(yxyx二、完全平方式分解因式法完全平方公式:两个数的平方和,加上(或减去)这两数的乘积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方。即a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2特点:(1)多项式是三项式;(2)其中有两项同号,且此两项能写成两数或两式的平方和的形式;(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解如:下列多项式能分解因式的是()A.yx2B.22yxC.yyx22D.962xx2、关于求式子中的未知数的问题如:1、若多项式162kxx是完全平方式,则k的值为2.若kxx692是关于x的完全平方式,则k=3.若49)3(22xmx是关于x的完全平方式则m=__________3、直接用完全平方公式分解因式的类型2816xx;224129xxyy;224xxyy;224493mmnn4、整体用完全平方式的类型(x-2)2+12(x-2)+36;2)()(69baba5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型-4x3+16x2-16x;21ax2y2+2axy+2a已知:2,1yxab,求xyababyabx63322的值练习:分解因式(1)442xx(2)641622axxa(3)4224168bbaa(4)49)(14)(2yxyx(5)2)()(69baba(6)(7)21222xx知识点5、十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式:逆用整式的乘法公式:(x+a)(x+b)=abxbax)(2,用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做十字相乘法。1、二次项系数为1的二次三项式直接利用公式—))(()(2bxaxabxbax进行分解。特点:(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积;(3)一次项系数是常数项的两因数的和。例题讲解1、分解因式:652xx分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=512解:652xx=32)32(2xx13=)3)(2(xx1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例题讲解2、分解因式:672xx解:原式=)6)(1()]6()1[(2xx1-1=)6)(1(xx1-6(-1)+(-6)=-7练习分解因式(1)24142xx(2)36152aa(3)542xx(4)22xx(5)1522yy(6)24102xx2、二次项系数不为1的二次三项式——cbxax2条件:(1)21aaa1a1c22312123xyyxx(2)21ccc2a2c(3)1221cacab1221cacab分解结果:cbxax2=))((2211cxacxa例题讲解1、分解因式:101132xx分析:1-23-5(-6)+(-5)=-11解:101132xx=)53)(2(xx分解因式:(1)6752xx(2)2732xx(3)317102xx(4)101162yy3、二次项系数为1的齐次多项式例题讲解、分解因式:221288baba分析:将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解:221288baba=)16(8)]16(8[2bbabba=)16)(8(baba分解因式(1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba4、二次项系数不为1的齐次多项式例题讲解22672yxyx2322xyyx1-2y把xy看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解:原式=)32)(2(yxyx解:原式=)2)(1(xyxy分解因式:(1)224715yxyx(2)8622axxa如:分解因式:1072xx3522xxa2+6ab+5b2x2+5x+6x2-5x+6x2-5x-6练习题:x2+7x+12x2-8x+12x2-x-12x2+4x-12y2+23y+22x2-8x-20x2+9xy-36y2x2+5x-6知识点6、分组的方法分解因式如:练习题:mmm205443144224xyx(1)222449cbcba(2)124323xxx(3)22962yyxx(4)44922yyx(5)4222yxyxy小结:因式分解的常规方法和方法运用的程序,可用“一提二公三叉四分”这句话来概括。“一提”是指首先考虑提取公因式;“二公”即然后考虑运用公式(两项用平方差公式或立方和、立方差公式,三项的用完全和平方、差平方公式);“三叉”就是二次三项式能否进行十字相乘法;“四分”是四项以上考虑分组分解法。

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