结构力学第三章

第3章静定梁和静定刚架的受力分析●本章教学基本要求：灵活运用隔离体平衡法（截面法）计算指定截面的内力；熟练掌握静定梁和静定平面刚架内力图的作法；了解空间刚架内力图绘制的方法。●本章教学内容的重点：绘制静定梁和静定平面刚架的内力图，这是本课程最重要的基本功之一。●本章教学内容的难点：用隔离体平衡法计算任一指定截面的内力；用区段叠加法绘弯矩图；根据弯矩图和所受荷载绘出剪力图和轴力图。静定结构受力分析几何特性：无多余联系的几何不变体系静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力求解一般原则：从几何组成入手，按组成的相反顺序进行逐步分析即可本章内容：静定梁；静定刚架；学习中应注意的问题：多思考,勤动手。本章是后面学习的基础，十分重要,要熟练掌握！●本章内容简介:3.1单跨静定梁3.2多跨静定梁3.3静定平面刚架*3.4静定空间刚架§3-1单跨静定梁受力分析1.单跨梁支反力XMYL/2L/2P例.求图示粱支反力A解:)(2/)(0PLMPYX000AYXMFF内力符号规定:弯矩以使下侧受拉为正剪力绕作用截面顺时针转为正轴力拉力为正2.截面法求指定截面内力KAyFByFAxFqABlC例:求跨中截面内力)(2/),(2/,0qlFqlFFByAyAx解:8/,00,00,02qlMMQFNFCcCyCx(下侧受拉)AyF3.作内力图的基本方法ByFAxFqABl例3-1:作图示粱内力图221)(,021)(,00)(,0xqxqlxxMMqxqxxQFxNFyx内力方程式:)()()(xNNxQQxMM弯矩方程式剪力方程式轴力方程式)(2/),(2/,0qlFqlFFByAyAx解:281qlql21ql21MQ4.弯矩,剪力,荷载集度之间的微分关系1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线.)(/)()(/)()(/)(22xqdxxMdxQdxxdMxqdxxdQqABlx)(xM)(xNxd)(xQMMddNNdQQxqd微分关系:M图Q图Pl自由端无外力偶则无弯矩.截面弯矩等于该截面一侧的所有外力对该截面的力矩之和M图Q图例3-2:作内力图铰支端无外力偶则该截面无弯矩.2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线,且凸向与荷载指向相同.Q=0的截面为抛物线的顶点.1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线.M图Q图ql2/2ql2/2ql例3-3:作内力图M图Q图2/2ql2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线,且凸向与荷载指向相同.1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线.3.集中力作用处,Q图有突变,且突变量等于力值;M图有尖点,且指向与荷载相同.M图Q图M图Q图2/2qlM图Q图A支座的反力大小为多少,方向怎样?2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线,且凸向与荷载指向相同.1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线.3.集中力作用处,Q图有突变,且突变量等于力值;M图有尖点,且指向与荷载相同.4.集中力偶作用处,M图有突变,且突变量等于力偶值;Q图无变化.M图Q图例3-4:作内力图M图Q图M图Q图铰支座有外力偶,该截面弯矩等于外力偶.无剪力杆的弯矩为常数.自由端有外力偶,弯矩等于外力偶练习:利用上述关系作弯矩图,剪力图练习:利用上述关系作弯矩图,剪力图5.叠加法作弯矩图注意:是竖标相加,不是图形的简单拼合.练习:ql2ql2ql2161ql2161qlql6.分段叠加法作弯矩图qABl/2l/2Cql812161qlq2161qlql/22161qlql/22161qlq2161ql练习:分段叠加法作弯矩图qABlC241qlqlqlllql21单跨梁1.单跨梁支反力2.截面法求指定截面内力3.作内力图的基本方法4.弯矩,剪力,荷载集度之间的微分关系5.叠加法作弯矩图6.分段叠加法作弯矩图7、斜梁的内力计算计算斜梁或斜杆的方法仍然是截面法。与水平杆相比，不同点在于斜梁或斜杆的轴线是倾斜的。计算其轴力和剪力时，应将各力分别向截面的法向、切向投影。工程中，斜梁和斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。斜梁受均布荷载时有两种表示方法：（1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用q表示。（2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用q’表示。q与q’间的转换关系：cosqqdsqqdx第3章[例题]试绘制图示斜梁内力图。解：000ABMMX)(6)(60qlVqlVHBAA校核：0366qlqjqjY（1）求支座反力：第3章αVAHACDql/3l/3l/3ABVB（2）AC段受力图：（3）AD段受力图：第3章αVAVAcosαVAsinαHAHAcosαHAsinαQCMCNCCHAcosααVAVAcosαVAsinαHAHAsinαQCMCNCCDql2cosα/3ql2/3ql2sinα/3（4）绘制斜梁内力图如下：第3章1.多跨静定梁的组成附属部分--不能独立承载的部分。基本部分--能独立承载的部分。基、附关系层叠图§3.2多跨静定梁三种组成形式AABBCCDDEE(主)(最次)(再次)(次)AAAABBBBCCCCDDDDEEEEFF(主)(主)(主)(主)(主)(次)(次)(次)(次)层次图层次图练习:区分基本部分和附属部分并画出关系图1.多跨静定梁的组成2.多跨静定梁的内力计算拆成单个杆计算,先算附属部分,后算基本部分.（1）力的传递由附属部分向基本部分传递，且当基本部分受荷载时，附属部分无内力产生；当附属部分受荷载时，基本部分有内力产生。FPFP(主)(主)(主)(主)(次)(次)（2）计算步骤采用分层计算法，其关键是分清主次，先“附”后“基”（计算反力和内力）。其步骤为：1)作层次图；2)计算反力；3)绘内力图；4)叠加(注意铰处弯矩为零)；5)校核(利用微分关系)。例3-5:作内力图qqlllll2l4l2lqlqlqlqql21qlqlql21q22ql2qlABQBAQAB4/504/110qlQFqlQMABYBAA例3-6:作内力图qqlllll2l4l2lqlqlqlqql21qlqlql212ql2qlqlql4/5ql4/11ql2/ql2/ql内力计算的关键在于:正确区分基本部分和附属部分.熟练掌握单跨梁的计算.3.2多跨静定梁1.多跨静定梁的组成2.多跨静定梁的内力计算3.多跨静定梁的受力特点简支梁(两个并列)多跨静定梁连续梁为何采用多跨静定梁这种结构型式?例3-7.对图示静定梁,欲使AB跨的最大正弯矩与支座B截面的负弯矩的绝对值相等,确定铰D的位置.qCBlADlxDR8/)(2xlqqDRB解:)(2/)(xlqRD2/)(2/2xxlqqxMB2/)(2/8/)(22xxlqqxxlqlx172.02086.0qlMBqllxlx172.02086.0ql2086.0ql2086.0ql281qlq22125.081qlql与简支梁相比:弯矩较小而且均匀.从分析过程看:附属部分上若无外力,其上也无内力.练习:利用微分关系等作弯矩图ll/2l/2PllMM练习:利用微分关系等作弯矩图ll/2l/2PllMMM2M241ql221qlllMllMMMMMM练习:利用微分关系等作弯矩图ll/2l/2PMMM2M241ql221qlMMMMMMMllq221qlllMMM练习:利用微分关系,叠加法等作弯矩图l/2l/2Pl/2l/2l/2PlP41lP41l/2l/2l/2l/2l/2qqllP412q41l2q41l【例3-5】试求作图示多跨静定梁的内力图ABCDEFFPABCDEFFPFP/2FP/2FP3/2FP/2FPABCDEFFP2aaa2aaABCDEFFPaFPaFpa/2M图ABCDEFFp/2Fp/2Fp++-Q图【例3-9】试求图示多跨静定梁的内力图。AABBCCDDEEFFGGHH30kN20kN·m20kN/m2m1m1m1m1m1m1m30kN20kN·m20kN/m20kN/m10kN10kN10kN100010kN101030kN20kN20kN·m1010kN·m1001010ABCDEFGH10101010101010M图(kN·m)10102030ABCDEHHFDQ图(kN)20kN/m2m10kN·m10kN·m30kN10kN【例3-10】试求作图示多跨静定梁铰E和铰F的位置，使中间跨的支座负弯矩MB和MC与跨中正弯矩M2的绝对值相等。ABCDEFAEBCDFFEEFBCl－xl－xlxx2xlq2xlqMBMCM2qqqABCDEFAEBCDFFEEFBCl－xl－xlxx2xlq2xlqMBMCM2qqq|MB|+M2=ql2/8，222qxxxlqMMCB因为按题意，要求|MB|=|MC|=M2ABCDEFAEBCDFFEEFBCl－xl－xlxx2xlq2xlqMBMCM2qqq亦即2|MB|=ql2/8，于是可得将式(b)代入式(a)，解出x=0.125l162qlMB(b)与三跨跨度为l的简支梁比较可知，其跨中正弯矩将减小一些。3.3静定平面刚架一、刚架的特点1、构造特点：一般由若干梁、柱等直杆组成且具有刚结点的结构，称为刚架。杆轴及荷载均在同一平面内且无多余约束的几何不变刚架，称为静定平面刚架；不在同一平面内无多余约束的几何不变刚架，称为静定空间刚架。2、力学特性：刚结点处夹角不可改变，且能承受和传递全部内力（M、Q、N）。3、刚架优点：内部空间较大，杆件弯矩较小，且制造比较方便。因此，刚架在土木工程中得到广泛应用。二、静定平面刚架的组成形式a)悬臂刚架b)简支刚架c)三铰刚架d)多跨刚架e)多层刚架三、静定平面刚架内力图的绘制静定平面刚架的内力图有弯矩图、剪力图和轴力图。静定平面刚架内力图的基本作法是杆梁法，即把刚架折成杆件，其内力计算方法原则上与静定梁相同。通常是先由刚架的整体或局部平衡条件，求出支座反力或某些铰结点处的约束力，然后用截面法逐杆计算各杆的杆端内力，再利用杆端内力按照静定梁的方法分别作出各杆的内力图，最后将各杆内力图合在一起，就得到刚架的内力图。【说明1】一般可按M图－Q图－N图的顺序绘制内力图。1)关于M图的绘制：对于每个杆件而言，实际上是分别应用一次区段叠加法（“一求控制弯矩，二引直线相连，三迭简支弯矩”）。2)关于Q图的绘制：当M图为直线变化时，可根据微分关系，由M图“下坡”或“上坡”的走向（沿杆轴由左向右看）及其“坡度”的大小，直接确定Q的正负和大小（如前所述）；当M图为二次抛物线变化时，可取该杆段为隔离体，化为等效的简支梁，根据杆端的已知M及跨间荷载，利用力矩方程，求杆端剪力值。3)关于N图的绘制：对于比较复杂的情况，可取结点为隔离体，根据已知Q，利用投影方程，求杆件轴力值。三、静定平面刚架内力图的绘制【说明2】刚架的M图约定绘在杆件受拉一侧，不标注正负号；Q图和N图可绘在杆件的任一侧，但必须标注正负号，其符号规定与梁相同。【说明3】关于简单刚结点的概念：两杆刚结点，称为简单刚结点。当无外力偶作用时，汇交于该处两杆的杆端弯矩坐标应绘在结点的同一侧(内侧或外侧)，且数值相等。作M图时，可充分利用这一特性。三、静定平面刚架内力图的绘制【例3-8】试求作图示刚架的内力图。解：(1)求支反力（2）求作M图FPFP4PF4PFl/2l/2llAABBCCDD4PlF4PlFM图B4PlFMBC(求)4PlFCMCB(求)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®（3）求作FQ图（4）求作FN图AABBCCDDBFPFP/4FP/4FP/4FPFPFP/4Q图N图NAB(求)NBC(求)【例3-9】试求作图示简支刚架的内力图。①杆AE：MAE=MEA