结构力学课件--第4章 静定结构的位移计算

第4章结构的位移计算§4.1位移计算概述一、位移的概念定义：结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移二、位移的分类位移线位移：截面形心的直线移动距离角位移：截面的转角水平线位移竖向线位移位移绝对位移相对位移广义位移AyAxAAAPAAxAyAA点线位移A点水平位移A点竖向位移A截面转角线位移和角位移称为绝对位移第4章结构的位移计算C、D两点的水平相对线位移DCHCD)(A、B两个截面的相对转角BAAB三、位移产生的主要原因3.支座沉降和制造误差等。1.荷载作用；2.温度改变和材料胀缩；Pt第4章结构的位移计算(1)验算结构刚度。即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值。在工程上，吊车梁允许的挠度1/600跨度；高层建筑的最大位移1/1000高度。最大层间位移1/800层高。(2)为超静定结构的计算打基础。在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移。(3）在结构的制作、架设、养护过程中，有时需预先知道结构的变形情况,以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。三、计算位移目的第4章结构的位移计算建筑起拱将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。第4章结构的位移计算§4.2虚功和虚功原理PW1.概念一、实功与虚功功：力对物体作用的累计效果的度量功=力×力作用点沿力方向上的位移第4章结构的位移计算)(2rPWMW功的正负号规定：当力P与相应位移Δ方向一致时，功为正；两者方向相反时，功为负。实功：力在自身所产生的位移上所作的功PPW21虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功tPWPCtt第4章结构的位移计算2、虚功的表达式：W=PΔ3、注意：（1）力P与Δ位移必须是相应的。（2）力P与位移Δ是互相独立，彼此无关的，即无因果关系。（3）虚功的正负号规定与前面相同。P1ABP2Δ1Δ2Δ3虚功：W12=P1Δ2“虚”字是强调位移和做功的力无关的特点！第4章结构的位移计算二、广义力和广义位移一个力系作的总虚功W=P×P---广义力;---广义位移PPW例:1)作虚功的力系为一个集中力2)作虚功的力系为一个集中力偶MWMABMM3)作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶MMMMWBABA)(4)作虚功的力系为两个等值反向的集中力PPABPPPPWBABA)(第4章结构的位移计算刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。023222PPP二、虚功原理P0AX2/PYB2/PYAΔ2Δ3Δ/21.刚体体系的虚功原理0外W第4章结构的位移计算2.变形体系的虚功原理体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。即：虚功方程变外WW第4章结构的位移计算变形体虚功原理的证明:xq1.利用变形连续性条件计算所有微段的外力虚功之和W总微段外力分为两部分体系外力相互作用力微段外力功分为两部分体系外力功dW外相互作用力功dW内微段所有力的虚功dW总=dW外+dW内所有微段的外力功之和:W总=∫dW外+∫dW内2.利用平衡条件条件计算所有微段的外力虚功之和W总微段外力功分为两部分在刚体位移上的功dW刚在变形位移上的功dW变微段外力功dW总=dW刚+dW变所有微段的外力功之和:W总=∫dW变+∫dW刚abab微段位移分为两部分刚体位移变形位移baabbaba故有W外=W变成立。ababb∫dW内=0W总=∫dW外=W外∫dW刚=0第4章结构的位移计算W变的计算:微段外力:微段变形可看成由如下几部分组成:变形体虚功方程的展开式MdMMNdNNQdQQqds微段剪切ds微段拉伸dd微段弯曲微段上轴力、弯矩、剪力的增量dM、dQ、dN以及均布荷载在这些变形上所做的虚功为高阶微量可略去不计，因此微段上各力在其变形上所做的微功为：dsQMdddWN变dsQMddWN变dsQMddWN外平面杆系结构的虚功方程第4章结构的位移计算3.虚功原理的应用1）虚设位移求未知力（虚位移原理）虚设单位位移法:已知一个力状态，虚设一个单位位移状态，利用虚功方程求力状态中的未知力。这时，虚功原理也称为虚位移原理。2）虚设力系求位移（虚力原理）虚设单位荷载法:已知一个位移状态，虚设一个单位力状态，利用虚功方程求位移状态中的未知位移。这时，虚功原理也称为虚力原理。第4章结构的位移计算三、刚体体系虚功原理应用举例例1.求A端支座发生竖向位移c时引起C点的竖向位移.解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。由得：0BMabYA/01cYAacb/解得：这是单位荷载法。虚功方程为：ABaCbACc1ABCAY第4章结构的位移计算位移状态（实际状态）（虚设力状态）§4.3结构位移计算的一般公式P1P2ACBKK'dsc1c2ΔkACBKPk=1ACBKdsACBR2R1MNQK虚设状态的外力（包括支座反力）对实际状态下的位移所做的虚功为：2211KKRPcRcW外iKciRW外第4章结构的位移计算位移状态（实际状态）（虚设力状态）P1P2ACBKK'dsc1c2ΔkACBKPk=1ACBKdsACBR2R1MNQKddsd、、以表示实际状态中微段ds的变形，以表示虚设状态中同一微段ds的内力，则总变形NQ、、M虚功为：)ddMdsQNW变第4章结构的位移计算根据虚功方程有：dMdsQdNcRiiK即：iiKcRdMdsQdN说明：该式是结构位移计算的一般公式。适用于静定结构和超静定结构。2)适用于产生位移的各种原因、不同的变形类型、不同的材料。3)该式右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积取正。第4章结构的位移计算虚设单位荷载的方法1)求某截面的线位移2)求某截面的角位移3)求某两点间的相对角位移4)求某两点间的相对线位移P=11MAB1M1MABP=1P=1第4章结构的位移计算第4章结构的位移计算§4.4静定结构在荷载作用下的位移计算如果结构只受荷载作用，且不考虑支座位移的影响（ci＝0）时，则计算位移的一般公式可简化为：iiKcRdMdsQdNdMdsQdNK式中，微段的变形是由荷载由起的。设NP、MP、QP表示实际位移状态中微段ds上所受的轴力、弯矩、剪力，在线弹性范围内，由材料力学可知NP、MP、QP引起微段ds上的变形为：第4章结构的位移计算NPNPMPMPQPQPdsNPNPdsdMPMPdsdQPQPdsds第4章结构的位移计算dsEANdPdsGAQkdsPdsEIMdPEA、GA、EI分别为杆件截面的抗拉、抗剪和抗弯刚度，k为剪应力不均匀分布系数。K与截面形状有关，矩形截面取6/5，圆形截面取10/9,薄壁截面取2。用ΔKP表示荷载引起的K截面的位移：dsGAQQkdsEIMMdsEANNPPPKP这是平面杆系结构在荷载作用下的位移计算公式。第4章结构的位移计算各类结构的位移公式1.梁与刚架—以弯曲变形为主dsEIMMPKP2.桁架—只有轴向变形EAlNNdsEANNPPKP3.组合结构4.拱EAlNNdsEIMMPPKPdsEANNdsEIMMPPKP第4章结构的位移计算例1.求图示等截面梁B端转角。2）分段求MP的表达式（0≤x≤l）xMxlm=1Pl/2l/2EIABx1x2解：1）虚拟单位荷载AC段：MP=Px/2（0≤x1≤l/2）BC段：MP=P（l－x）/2（l/2≤x2≤l）（）EIPldsEIMMPB1623）代入公式求ψB第4章结构的位移计算例：求图示简支梁中点C的竖向位移。CV解：（1）取虚力状态如图：（2）写出弯矩、剪力的方程：Fp=1CCABL/2L/22/L/LLmkNq（3）计算CV当时20lxxM21222xqLxqMPEIqLxqLxqEIdxEIxqLxqxLLCV38458612221242043202第4章结构的位移计算解：（1）求CH写出杆件的方程MPMBC杆：0M212PMqxBA杆：Mx212PMqLLACBLEIEIqACBFP=1例：计算图示刚架C点的水平位移CH和C点的转角C各杆的EI为常数。，240124LCHqLxqLdxEIEIxx第4章结构的位移计算LLLLCxqLEIqxEIdxEIqLdxEIqx02030202211611121121（2）求CACBM=1EIqLEIqLEIqL3226333BC杆：1M221qxMPBA杆：1M221qLMP写出杆件的方程PMM,第4章结构的位移计算，例：计算图示刚架C点的水平位移和C点的转角已知，AB、BD段的抗弯刚度为EI，DC的抗弯刚度为0.5EI。CHCxxACBaqa/2a/2DACBP=1D解：（1）求CH写出杆件的方程P,MM横梁BC2P21,0qxMM立柱AB2P21,qaMxM第4章结构的位移计算EIqaEIxdxqadxEIMMaPCH41210402（→）（2）求CACBM=1DBC杆：1M221qxMPBA杆：1M221qaMPdxEIqLEIqxdxEIqxaaaa022220212112121121EIqaxqaEIqxEIqxEIaaaa483321161131130223203第4章结构的位移计算例:求图示悬臂刚架C截面的角位移φC。刚架EI为常数。解：（1）取右图所示虚力状态。（2）实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以内侧受拉为正)第4章结构的位移计算横梁BC(以C为原点)BC杆：1MPxMPBA杆：1MPlMP竖柱BA(以B为原点)(3)将代入位移公式P,MM11200022211()(1)()(1)322lllpCMMdspxdxpldxEIEIEIplPlPlEIEIEI第4章结构的位移计算例：求B结点的水平位移。各杆EI相同，并为常数。解:(1)分别计算出荷载、虚单位力作用下结构的支座反力，并建立各杆独立的截面位置坐标，注意同一杆件在两种状态中的坐标一致。qLqL/2qL/2xx1xx11(2)两种状态下任意截面的弯矩函数:均以内侧受拉为正)AB杆：2)(2qxqLxxMxxM)(BC杆：xqLxM2)(xxM)(第4章结构的位移计算)(83]2)2([4210022EIqLdxxqLxdxqxqLxdxEIMMLLPBH(3)将以上所得弯矩函数代入刚架的位移计算公式中，做积分运算：第4章结构的位移计算例图示桁架各杆的EA相等，求C结点的竖向位移VC解:（1）设虚拟状态（如上图b所示）（2）计算NPFF和（3）代公式求C点的竖向位移EAaFaFaFaFEAEAlFFPPPPNNVC224221221222221