第五章 控制系统的稳定性

第一节系统稳定性的概念一、稳定的概念一个处于某平衡状态的系统，在扰动信号的作用下，会偏离原来的平衡状态。当扰动作用消失后，系统又能够逐渐地恢复到原来的平衡状态，或者说系统的零输入响应具有收敛性质，称系统是稳定的；反之，若系统不能恢复到原平衡状态，或系统的零输入响应具有发散性质，则系统为不稳定的。稳定性是系统去掉外作用后，自身的一种恢复能力，所以是系统的一种固有特性，它只取决于系统的结构参数而与初始条件及外作用无关。二、线性系统稳定的充要条件根据上述关于稳定的概念，可以在零初始条件下，以理想单位脉冲作用于系统，使系统离开原平衡状态，若经过足够长的时间，系统能回到原来的零状态，则系统是稳定的。系统稳定的充要条件为：系统的全部特征根都具有负实部；反之，若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统必不稳定。也就是说，若系统传递函数的全部极点均位于[s]平面的左半平面，则系统稳定；反之，若有一个或一个以上的极点位于[s]平面的右半平面，则系统不稳定；若有部分极点位于虚轴上，而其余的极点位于[s]平面的左半平面，则系统称为临界稳定。)(t)(sG2sR(s)C(s)222nnns典型二阶系统的特征方程为0222nnss1s21,2nn特征方程的根，即闭环系统的极点为0111011)()(aSanSnanSnabmSmbmSmbsRsCsG二阶系统的传递函数线性系统的传递函数第二节代数稳定判据劳斯稳定判据和胡尔维茨稳定判据是利用特征方程的系数进行代数运算来确定特征方程根的位置，来判断控制系统的稳定性，称为代数稳定判据。一、劳斯(Routh)稳定判据劳斯稳定判据是英国人劳斯于1877年提出来的。设线性系统的特征方程为00111asa...sasaD(s)n-n-nn线性系统稳定的充分必要条件是：特征方程的全部系数都大于零，且劳斯表第一列元素都大于零。特征方程中，实部为正的根的个数等于劳斯表第一列元素符号改变的次数。ccbbb..................ccs.......bbbs......aaaas......aaaas131512121311176131541213211213-n3212-n7-n5-n3-n1-n1-n6-n4-n2-nnnbbaabbbaabaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnnnnn劳斯阵列为了简化数据运算，可以用一个正数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。二、劳斯稳定判据的应用1．判断控制系统的稳定性例5-1某控制系统的特征方程为，判断系统的稳定性。0301216)(234sssssA解：由于系统的特征方程系数符号不同，不满足稳定的“特征方程的全部系数大于零”的条件，所以系统不稳定。5s06s51s042s531s:阵列列写:解0152-41124-32234劳斯符号改变一次符号改变一次因为Routh阵列第一列符号改变2次，故有两个具有正实部的特征根，系统是不稳定的。054s23s32s4s设有下列特征方程2.-5例试用Routh判据判别该特征方程正实部根的个数。:023s-s.3解正的特征根的个数。试应用判据判别实部为设系统的特征方程为例2s0s20s3-1s02-3-23改变一次改变一次Routh判据的特殊情况a.某行第一个元素为零，其余均不为零。有两实部为正的根。按照在劳斯判据，因第一列元素不全大于0，可以确定系统不稳定。如需要了解根的情况，可用一个有限小的正数代替0，完成劳斯表。b.劳斯表某行全为零说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。可用全零行的前一行数值组成辅助方程，并用的系数代替全零行的各项，完成劳斯表，利用辅助方程可解得那些对称根。)('sAdssdA/)(')('sA:04-4s-7s-3s-2s-s::23456解。试确定正实部根的个数已知系统特征方程为例s000s4-3-1s04-3-1s4-7-2-1s34564-s016.7-s4-1.5-s06-4s4-3-1s4-3-1s4-7-2-1s012345606s-4sdsdF(s)04-3s-F(s):324s辅助方程。另外二根为再由原特征方程得。得出产生全零行的根为求解辅助方程有一个实部为正的根。符号改变一次2321-:0)1)(4)(1(s:,20)1)(4(43)(,2222224jsssjsssssF:KRouth,:解的取值范围。的开环增益判据确定使系统稳定试应用设系统如图所示例)125.0)(11.0(SSSKC(S)R(S)-s14-560s14s401s:04014s:40K.K,)10)(4()(:012323KKKKssKsssKs相应的劳斯表为程由上式得系统的特征方式中系统闭环传递函数为14K0560K0014K-5600K,***即应有为使系统稳定2.确定闭环系统稳定时的参数条件第三节Nyquist稳定判据应用劳斯判据必须知道闭环系统的特征方程，且不能指出系统稳定程度。1932年，奈奎斯特（Nyquist）提出了另一种判定闭环系统稳定性的方法，称为奈奎斯特稳定判据，简称奈氏判据。这个判据的主要特点是利用开环频率特性判定闭环系统的稳定性。开环频率特性容易画，若不知道传递函数，还可由实验测出开环频率特性。此外，奈氏稳定判据还能够指出稳定的程度，揭示改善系统稳定性的方法，因此奈氏稳定判据在频率域控制理论中占有重要地位。不包围原点表示次逆时针包围原点表示次顺时针包围原点表示点的次数按顺时针方向包围原平面上的映射在运动沿以顺时针方向当点在这种情况下的任何极点与零点不通过而内平面的封闭轨线部极点与零点均分布在的全以及点数目其中包括重极点与重零的零点数目为极点数目为又设为单值连续正则函数点外平面的有限个奇除在是复变量的多项式之比设幅角原理一FFFFSSSSNNNSFSSFSSFSFZSFPSSF00N0NP-ZN)]([,,.)(,)(,,)(,)(.,,)(.-2)Z-(SF(S),,2)(,,)(,(a)S)Z-(S)P-(S--)P-(S-)Z-(S)Z-(SF(S)F(S))()(,B,F(S),,,,:iSin1n1)P-(S)P-(S)Z-(S)Z-k(SSn1n1所以其余均为零外等于除了时而不含极点与其他零点含零点内只当的相位角变化即向量复数路线变动时的按图表示这里的变化的相位角造成了这个变化回到点点出发沿它从也相应的变化这样变化时当回到原来的位置顺时针转一圈绕从这点移动使上选择点在有关幅角定理的说明iiSiFiZSZZSSFSFBSZSAjwSA.Zi(a)[S]BFReIm[F(S)](b)二、Nyquist稳定判据Nyquist稳定判据：反馈控制系统稳定的充分必要条件是系统开环频率特性曲线逆时针方向包围临界点（-1，j0）点的圈数等于开环传递函数的正实部极点数。)()(jHjGNP使用奈氏稳定判据时，首先要确定开环系统在平面的右半平面的极点数，其次要作出奈氏曲线，求取奈氏曲线逆时针包围临界点（-1，j0）的圈数，再根据幅角原理确定是否为零。如果，表示闭环系统稳定；反之，，表示该闭环系统不稳定。的具体数值等于闭环系统在平面的右半平面上的极点个数。sP)()(jHjGNZ0Z0ZZs例1下图为系统的开环Nyquist图。0P第1个图中Nyquist轨迹包围了点（-1，j0），故系统不稳定；第2个图中Nyquist轨迹不包围点（-1，j0），故系统稳定；第3个图中Nyquist轨迹穿过点（-1，j0），故系统不稳定。)1(10ss-ss1fKR(s)-C(s)1、已知系统结构图如图所示，试分析要使系统稳定，Kf应满足什么条件？2、