倒立摆实验报告

倒立摆实验报告实验人:2011年12月29日目录一．实验概述倒立摆简介………………………………………………………………………3倒立摆控制的目标与控制器设计方法……………………………………………3实验装置简介……………………………………………………………………3二．实验内容实验对象建模……………………………………………………………………4控制器的设计、仿真与实验结果频率响应控制实验……………………………………………………………5直线一级倒立摆PID控制实验…………………………………………………13直线一级倒立摆LQR控制实验…………………………………………………17三．小结…………………………………………………………………………21一．实验概述1.倒立摆简介倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。2.倒立摆控制的目标与控制器设计方法。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。本实验的控制对象是一级倒立摆,控制目标是实现起摆后摆杆稳定于倒立状态,有一定的抗干扰能力。倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制器处理得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。其中控制器的设计方法有PID控制、根轨迹以及频率响应法、状态空间法、最优控制理论、模糊控制理论、神经网络控制、拟人智能控制、鲁棒控制方法、自适应控制，以及这些控制理论的相互结合组成更加强大的控制算法。本实验采用频率响应法、PID控制和LQR控制。3.实验装置简介。固高科技公司倒立摆实验装置(旋转编码器作为角位移传感器对输出采样，交流伺服电机驱动导轨上的小车作为执行器)PC机;基于Matlabsimulink平台的固高实验控制软件。二．实验内容1.实验对象建模。PNFbxxMxmgNPΦ忽略掉一些次要因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程，对倒立摆系统进行机理建模。在忽略了空气阻力,各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统F的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力与F平衡和绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力力矩平衡，我们可以得到下面运动方程：cossin)(sincos)(22xmlmglmlIFmlmlxbxmM（1）设，1，进行近似处理：1cos，sin，0)(2dtd。用u来代表被控对象的输入力F，对式（5-1）进行线性化后得到下面两个运动方程：xmlmglmlIumlxbxmM)()(2（2）整理后得系统的状态方程如下：CXYBuAXX（3）其中：22222220100()00()()0001()00()()ImlbmglIMmMmlIMmMmlAmlbmglMmIMmMmlIMmMml，2220()0()ImlIMmMmlBmlIMmMml，10000010C1234xxxxXxx带入固高系统固件的相关参数，可得到角度作为输出与加速度作为输入的传递函数：2.控制器的设计、仿真与实验结果。（1）直线一级倒立摆频率响应控制实验系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，我们在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。频率响应可以采用以下三种比较方便的方法进行分析，一种为伯德图或对数坐标图，伯德图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅表示相角和频率的关系；一种是极坐标图,也常称为奈奎斯特图，奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝对稳定性和相对稳定性。频率响应分析由直线一级倒立摆的物理模型，实际系统的开环传递函数：其中输入为小车的加速度V(s)，输出为摆杆的角度Φ(s)。在MATLAB下绘制系统的Bode图和奈奎斯特图，程序如下：m=0.109;L=0.25;I=0.0034;g=9.8;num=[m*L];den=[I+m*L*L0-m*g*L];z=roots(num);p=roots(den);subplot(2,1,1);bode(num,den);subplot(2,1,2);nyquist(num,den)；程序运行结果如下：-100-500Magnitude(dB)100101102-181-180-179Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10-1-0.500.51NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis可以得到，系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位于右半s平面，根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：当ω从−∞到+∞变化时，开环传递函数G(jω)沿逆时针方向包围-1点p圈，其中p为开环传递函数在右半S平面内的极点数。对于直线一级倒立摆，由图3-21我们可以看出，开环传递函数在S右半平面有一个极点，因此G(jω)需要沿逆时针方向包围-1点一圈。可以看出，系统的奈奎斯特图并没有逆时针绕-1点一圈，因此系统不稳定，需要设计控制器来镇定系统。选取系统静态误差为10，相角裕量50°，增益裕量不小于10分贝。Matlab仿真程序如下：m=0.109;L=0.25;I=0.0034;g=9.8;%输入实际物理参数Kv=10;Ko=Kv*g;%确定静差和开环增益num=[Ko*m*L];den=[I+m*L*L0-m*g*L];z=roots(num);p=roots(den);%根据已知传递函数计算零极点subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)%画伯德图和奈奎斯特曲线程序运行结果如下：-50050Magnitude(dB)100101102-181-180-179Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10-1-0.500.51NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis可以看出，系统相角裕量为0°，由设计要求，取最大超前相角为55°，用如下Matlab程序得出超前控制器参数并绘制相应伯德图及奈奎斯特曲线：m=0.109;L=0.25;I=0.0034;g=9.8;%输入实际物理参数Kv=10;Ko=Kv*g;%确定静差和开环增益a=(1+sin(0.96))/(1-sin(0.96));%求校正参数awc1=(((Ko*m*L*a^0.5)-m*g*L)/(I+m*L^2))^0.5;%求校正后幅值穿越频率p1=-(a^0.5)*wc1;z1=p1/a;num=[Ko*m*L];den=[I+m*L*L0-m*g*L];z=roots(num);p=roots(den);za=[z;z1];pa=[p;p1];%计算校正后系统零极点Kc1=Ko*a;%校正后开环增益sys=zpk(za,pa,Kc1);sysc=sys/(1+sys);subplot(2,1,1)bode(sys)subplot(2,1,2)nyquist(sys)%输出伯德图和奈氏曲线运行结果如下：-1000100Magnitude(dB)10-1100101102103104-180-135-90Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50-1-0.500.51NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis加上命令行：figuresysc=sys/(1+sys);t=0:0.005:5;impulse(sysc,t)可得其冲击响应如下00.511.522.533.544.55-2024681012ImpulseResponseTime(sec)Amplitude可以看出，系统在遇到干扰后，在1秒内可以达到新的平衡，但是超调量比较大。为提高稳态精度，缩短响应时间，在已完成的超前校正基础上进行滞后校正，设计15°为新的穿越频率.Matlab仿真程序如下：m=0.109;L=0.25;I=0.0034;g=9.8;%输入实际物理参数Kv=10;Ko=Kv*g;%确定静差和超前校正开环增益a=(1+sin(0.96))/(1-sin(0.96));wc1=(((Ko*m*L*a^0.5)-m*g*L)/(I+m*L^2))^0.5;wc2=10;%新穿越频率p1=-(a^0.5)*wc1;z1=p1/a;b=(wc2^2+p1^2)^0.5/(wc2^2+z1^2)^0.5*((I+m*L^2)*wc2^2+m*g*L)/(m*L*Ko);z2=-wc2/10;p2=b*z2;num=[Ko*m*L];den=[I+m*L*L0-m*g*L];z=roots(num);p=roots(den);za=[z;z1;z2];pa=[p;p1;p2];%计算校正后系统零极点Kc2=Ko*a*b;%确定新的开环增益sys=zpk(za,pa,Kc2);sysc=sys/(1+sys);subplot(2,1,1)bode(sys)subplot(2,1,2)nyquist(sys)%输出伯德图和奈氏曲线运行结果如下：-100-50050Magnitude(dB)10-210-1100101102103104-180-150-120Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50-1-0.500.51NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis显然系统稳定.实验室调试:按理论设计得到的控制器零点为:Za=[-8.9353;-0.02];极点为Pa=[-89.902;-0.020149]开环增益Kc2=993.35实验现象:倒立摆无法保持平衡,小车会向一个方向运动直到碰到挡板.考虑存在静差.将Kv改为100，并适当降低穿越频率wc2=5，重新由Matlab算得Za=[-28.667;-0.5];极点为Pa=[-288.43;-0.096954]开环增益Kc2=1912仿真结果如下:-1000100Magnitude(dB)10-310-210-1100101102103104-270-180-90Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)-4