高中数学人教A版必修五同步课堂配套课件第二章 2.2 等差数列 第二课时 等差数列的性质及应用

2.2等差数列第二课时等差数列的性质及应用课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章数列考点一考点二N0.1课堂强化N0.2课下检测考点三返回返回返回返回返回返回[读教材·填要点]等差数列的常见性质有(1)对称性：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…；(2)m＋n＝p＋q⇒；(3)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an也成等差数列；(4)an＝am＋；am＋an＝ap＋aq(n－m)d返回(5)若数列{an}成等差数列，则an＝pn＋q(p、q∈R)；(6)若数列{an}成等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)仍为等差数列；(7){an}和{bn}均为等差数列，则{an±bn}也是等差数列；(8){an}的公差为d，且d＞0⇔{an}为递增数列；d＜0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．返回[小问题·大思维]1．在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n1)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(nk0)是否成立？提示：令性质(2)中的m＝n，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；令性质(2)中的m＝n，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．返回2．若数列{an}是一个项数为n的等差数列，且首项为a1，公差为d，则：(1)将数列中的所有奇数项去掉，其余各项按原来的顺序组成一个新数列，这个新数列还是等差数列吗？它的首项和公差分别是多少？返回(2)将数列中的各项倒序，即首项当末项，第二项当倒数第二项，…，末项当第一项，则该数列还是等差数列吗？其首项和公差分别是多少？提示：(1)仍是等差数列，其首项为a2＝a1＋d，公差为2d.(2)仍是等差数列，其首项为an＝a1＋(n－1)d，公差为－d.返回返回[研一题][例1]已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．返回[自主解答]法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得b－a＝c－b＝d－c，a＋b＋c＋d＝26，bc＝40，解之得a＝2，b＝5，c＝8，d＝11，或a＝11，b＝8，c＝5，d＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.返回法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26，a1＋da1＋2d＝40，返回化简，得4a1＋6d＝26，a21＋3a1d＋2d2＝40，解得a1＝2，d＝3，或a1＝11，d＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.返回法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40，化简，得4a＝26，a2－d2＝40，解得a＝132，d＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.返回[悟一法]对于项数有限的等差数列，用“对称设项”的方法来设项能达到化多为少的目的(特别是在已知其和时)，三个数的“对称设项”是x－d，x，x＋d；五个数是x－2d，x－d，x，x＋d，x＋2d；四个数则是x－3d，x－d，x＋d，x＋3d等等．返回[通一类]1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．返回解：设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝859，返回∴5a＝5，5a2＋10d2＝859.∴a＝1，d＝±23.d＝23时，这5个数分别是－13，13，1，53，73；返回d＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，5个数分别为－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.返回[研一题][例2]已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．返回[自主解答]法一：∵a1＋a7＝2a4，∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15，a4＝5.又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9.即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得：d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.返回法二：∵a1＋a7＝2a4，∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15，a4＝5.∴a2＋a6＝2a4＝10.又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，从而a2，a6可看成方程x2－10x＋9＝0的两根，解得：a2＝1，a6＝9，或a2＝9，a6＝1.∴an＝2n－3或an＝13－2n.返回若去掉条件“a2a4a6＝45”，其他条件不变，求2a5－a6的值．解：∵a1＋a4＋a7＝15，∴a4＝5.∴2a5－a6＝a4＝5.返回[悟一法](1)在等差数列中，序号成等差数列的项，仍然组成等差数列．(2)通项公式的变形形式an＝am＋(n－m)d，(m，n∈N*)，它又可变形为d＝am－anm－n，应注意把握，并学会应用．返回[通一类]2．(1)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35返回解析：∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，则a4＝4，又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.答案：C返回(2)(2011·重庆高考)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.解析：∵a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7，∴a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝74.答案：74返回[研一题][例3]甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．返回返回请根据提供的信息说明，求：(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由．(3)哪一年的规模最大？请说明理由．返回[自主解答]由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；返回从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.(1)由a1＝1，a6＝2，得a1＝1，a1＋5d1＝2，∴a1＝1，d1＝0.2⇒a2＝1.2；返回由b1＝30，b6＝10，得b1＝30，b1＋5d2＝10，∴b1＝30，d2＝－4⇒b2＝26.即c2＝a2b2＝1.a×26＝31.2.(2)c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30，所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了．返回(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8，bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6)．∵对称轴为n＝94，所以当n＝2时，cn最大．返回答：(1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了；(3)第2年的规模最大．返回[悟一法](1)在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．返回[通一类]3．梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．返回解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得a1＝33，a12＝110，n＝12.由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d.解得d＝7.返回因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm，96cm，103cm.返回在等差数列{an}中，ar＝s，as＝r(r≠s，r，s∈N*)，求ar＋s.返回[解]法一：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则a1＋r－1d＝s，a1＋s－1d＝r，解得d＝－1，a1＝r＋s－1.故an＝r＋s－1＋(n－1)·(－1)＝－n＋r＋s.故ar＋s＝－(r＋s)＋r＋s＝0.返回法二：利用一次函数图象求解．不妨设rs.在等差数列中，an关于n的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点(r，ar)，(s，as)，(r＋s，ar＋s)共线．返回设ar＋s＝m，由已知得三点A(r，s)，B(s，r)，C(r＋s，m)共线，如图所示．由△ABE∽△BCF，得AEBE＝BFCF，∴s－rs－r＝r－mr＋s－s.∴1＝r－mr，得m＝0.即ar＋s＝0.返回法三：∵ar＝s，as＝r，且r≠s，∴d＝ar－asr－s＝s－rr－s＝－1.∴an＝ar＋(n－r)·(－1)＝－n＋r＋s.∴ar＋s＝0.返回法四：由等差数列的几何意义知点(r，s)，(s，r)是一次函数an＝－n＋(r＋s)上的两点，当n＝r＋s时，an＝0，∴ar＋s＝0.[点评]解决等差数列问题首先我们关心的是其基本量a1、d等，另外数列的性质、函数观点也是我们应当关注的问题，有时利用它们解决问题更方便．返回返回点击此图片进入NO.1课堂强化返回点击此图片进入NO.2课下检测