Z变换

2020/2/706:161数字信号处理基础主讲教师：常军联系方式：[e-mail]2020/2/706:1622.5离散信号的Z变换为了将离散系统差分方程的求解，转换成代数解法而引入Z变换。作者：常军2020/2/706:16第3页nnznxzX)()(其中jrejyxz记为：)]([)(nxZzX(实际上,Z变换将x(n)展开成为z-1的幂级数形式)例如：)()(nuanxna为常数（实数或复数）求X(z)0)()(nnnnnzaznuazXaazzzXzaz11)(2.5.1Z变换的定义及其收敛域1、Z变换定义：作者：常军2020/2/706:16第4页说明：上例说明序列的Z变换可能在某个区域内收敛，在收敛域中其Z变换可以表示成一个解析函数。根据级数收敛的条件，X(z)收敛的条件是级数绝对可和。|)(|nnznx作者：常军2020/2/706:16第5页例如：)1()(nuanxn其中0100)1(nnnu求X(z)11)()1()(mmnnnnnnazzaznuazX当az时：azzazazzX1)(可见，同一个解析函数在不同的收敛域可能表示不同的序列的Z变换。所以，在说明某解析函数是某个序列的Z变换时，要同时给出收敛域。作者：常军2020/2/706:16第6页2、收敛域定义及序列收敛特性：使序列x[n]的Z变换X[z]收敛的复平面上所有Z的集合，称为该Z变换的收敛域。记为ROC(RegionofConvergence)。序列收敛的预备知识：如果级数nnznx0,在0zz收敛，那么满足zz0的z，级数必绝对收敛。|z+|为最大收敛半径。同样，对于级数nnznx0满足zz的z，级数必绝对收敛。|z-|为最小收敛半径。]Re[z]Im[zjz]Re[z]Im[zjz作者：常军2020/2/706:16第7页(1)有限长序列：序列范围21nnn则：21)()(nnnnznxzX;)(;)(,)()(212121nnnznxnnnznxznxzXnnnnnn，是有界的，必有考虑到，若ROC至少是除了z=0和z=∞以外的有限Z平面(0,∞)当0,021nn时：(双边有限序列)ROC：||0z当012nn时：(右边有限序列)ROC：||0z当120nn时：(左边有限序列)ROC：||0z0n2n1n(n)...x作者：常军2020/2/706:16第8页1nn，其Z变换为：1)()(nnnznxzX如果X(z)在z=z1处收敛，则它在|z||z1|处处收敛。假设z0是它幅度最大的极点。则当01n时：ROC：||0zz某圆外不包括无穷远点当01n时：ROC：||0zz某圆外包括无穷远点(2)右边序列：x(n)n0n1..1...作者：常军2020/2/706:16第9页(3)左边序列：2nn，其Z变换为：2nnnzx(n)X(z)如果X(z)在z=z2处收敛，则它在|z||z2|处处收敛。假设z0是它幅度最小的极点。则当02n时：ROC：0||0zz某圆内不包括原点当02n时：ROC：0||0zz某圆内包括原点x(n)0nn2作者：常军2020/2/706:16第10页例：nbnx)(b为实数，讨论其Z变换的收敛域。讨论：把序列分解成两序列之和，)1()()(nubnubnxnn对bnubnz:ROCb-zzX(z))(对bnubn1z:ROCbz-1bzX(z))1(所以对于)(nx，当0|b|1时：||1|||:|bzbROC。当1||b时，ROC不存在。(4)双边序列：综合以上两种情况可以知道双边序列的收敛收敛域为：ROC:|Z1||Z||Z2|Z平面上的圆环结论：双边序列的Z变换收敛域一般是Z平面上的圆环。单边序列的情况下，内环可能为原点；外环可能为无穷远点。甚至没有收敛域；也可能是整个Z平面。作者：常军2020/2/706:16第11页2.5.2Z变换的性质：1、线性性：相加后Z变换的收敛域一般为两个序列原来收敛域的交集，某些情况下个别零点和极点相互抵消后可能扩大收敛域。2、时移特性：R:ROC)([x(n)]zXZ则：z00z0R:ROC)()]n[x(n0000nnzXznZ111RROC)((n)][x：zXZ222RROC)((n)][x：zXZ则：212121RRROC)()((n)]bx(n)[ax：zbXzaXZn0为任意整数，n0为正时是延迟，n0为负时是超前。作者：常军2020/2/706:16第12页2.5.2Z变换的性质：3、频移特性：4、序列卷积特性：R:ROC)([x(n)]zXZ则：R:ROC)e(x(n)][ejnjzXZ111R:ROC)((n)][xzXZ222R:ROC)((n)][xzXZ则：212121RR:ROC)()((n)]x(n)[xzXzXZ5、初值特性：如果0n0x(n)（因果序列）则：)(limx(0)zXz作者：常军2020/2/706:16第13页2.5.2Z变换的性质：6、序列乘积的Z变换(复卷积特性)：7、X(z)的导数111RROC)((n)][x：zXZ222RROC)((n)][x：zXZ则：211-2121RRROCdvv)()(21(n)]x(n)[x：cvzXvXjZC是收敛域中一条包围原点的闭曲线。若R:ROC)((n)jeXx则：R:ROC)(dzzdX-zx(n)n作者：常军2020/2/706:16第14页若R:ROC)((n)zXx则：R:ROC)((n)zXx。若)((n)jeXx则：d)X(e|)(|-2j212nnx物理意义：时域的序列能量=频域的频谱能量2.5.2Z变换的性质：8、共轭序列的Z变换：9、帕斯瓦尔定理：作者：常军2020/2/706:16第15页2.5.3Z反变换定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。)]([)(1zXZnx记作：作者：常军2020/2/706:16第16页对因果序列，因为0)()(nnznxzX,将)(zX按Z-1的幂级数展开，其系数即为x(n)；而对一般序列要结合收敛域与序列形式的关系来决定。例、求43213531)(zzzzzX||0:zROC的逆Z变换。解：根据幂级数系数的对应关系得：)4()3(3)2(5)1(3)()(nnnnnnx1、幂级数法作者：常军2020/2/706:16第17页例、求20:2)(5zROCzzzX的逆Z变换。解：060626)2()2(11)(nnnnnzzzzzzzX根据幂级数系数的对应关系和Z变换的时延特性得：)6()2()(nunxn1、幂级数法当X(z)=P(z)/Q(z)的有理分式形式，幂级数的系数可以用P(z)除以Q(z)得到。（多项式长除法）作者：常军2020/2/706:16第18页序列的Z变换常可表示成有理分式：)()()(zQzPzX。对于工程上使用的离散信号序列（因果序列），为了保证在z处收敛，多项式)(zQ的阶次N应高于)(zP的阶次M。这时可以先把)(zX用部分分式法分解成低次分式之和，再求各低次分式的反变换的叠加等于)(nx。即zXzXzXzQzPzXk....21如果)(zX只有一阶极点，则可分解分式得：NkkkzzCzzX1)(（部分分式），NknkknuzCnx1)()()(其中：kz为)(zX的一阶极点。系数kzzkkzXzzzC)]()([2、部分分式法作者：常军2020/2/706:16第19页例：求5.05.1)(22zzzzXROC:1||z的Z反变换。解：5.01)5.0)(1()(21zczczzzzzX2])()1[(11zZzXzc1])()5.0[(5.02zZzXzc得：)1()5.0()1(2)(nununxn2、部分分式法作者：常军2020/2/706:16第20页例：求143)(2zzzzX的Z反变换。解：)1()1()1)(1(1)(1312111311131231134131zczczzzzzzzX021cc，311312cc解得：211c，212c)(zX的极点为11z，312z，根据不同的ROC得反变换。（1）1:zROC得右边因果序列：)()()()(312121nununxn（2）311:zROC得双边序列：)()()1()(312121nununxn（3）31:zROC得左边序列：)1()()1()(312121nununxn2、部分分式法作者：常军2020/2/706:16第21页Z的反变换关系式为：cnjdzzzXnx121)()(,c为收敛域内围绕原点的闭曲线(证明见P37)。反演公式的留数计算方法：RzzncnjkzzXsdzzzXnx])([Re)()(1121如果积分式为有理分式：sknzzzzzX)()()(1，即在zk处有s阶极点，则：kkzzsszzndzzdszzX])([)!1(1])([sRe111如果：在z0处有1阶极点。则：)(])([sRe010zzzXzzn3、反演公式法：作者：常军2020/2/706:16第22页例。求)5.01)(1(21)(1131zzzzzX1:zROC的Z反变换。解：分子，分母各乘3z得：)5.0)(1(12)(23zzzzzzX由反演公式得kzznRzzzzznx])5.0)(1()12([sRe)(223因为当2n时在原点出现极点，所以要另外计算。对2n，只有1z和5.0z两个一阶极点。nznznznznzzzzzzzzzzzzXzzXnx)5.0(138])5.0(12[])1(12[])([sRe])([sRe)(11235.0123115.013、反演公式法：作者：常军2020/2/706:16第23页对2n时，1)5.0(1386])([sRe])([sRe])5.0)(1(12[sRe)0(05.01110123zzzzzXzzXzzzzzzx5.3)5.0(1382])([sRe])([sRe])5.0)(1(12[sRe)1(15.00100023zzzzzXzzXzzzzzzx所以，)2(])5.0(138[)1(5.3)(1)(nunnnxn3、反演公式法：作者：常军2020/2/706:16第24页单边Z变换定义为：0)()(nnIznxzX。其RzROC:为某圆外区域。按1z的幂级数展开，其系数即0n)(nx，而不管0n如何定义。说明：对于因果序列单变Z变换与双边Z变换相同。所以可以用单Z变换来解给定初始条件的LTI因果系统问题。当然，也可以直接使用双Z变换来解。我们这里只使用双边Z变换来解给定初始条件的LTI因果系统问题。2.6单变Z变换：定义作者：常军2020/2/706:16第25页nnTtnTxnx)()