Z变换和差分方程

第三节差分方程差分方程是包含关于变量k的序列y（k）及其各阶差分的方程式。是具有递推关系的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值解。对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值y(k)不仅与这一时刻的输入值r(k)有关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、r(k-2)…有关，还与过去的输出值y(k-1)、y(k-2)…有关。可以把这种关系描述如下：)()1()()()1()(101krbmkrbmkrbkyankyankymnn—系统的阶次k—系统的第k个采样周期线性定常系统差分方程的一般形式差分方程的定义:差分方程的物理意义•1.差分方程给出了沿时间顺序输出量的若干个采样瞬时值与输入量在采样瞬时的值的关系。•2.通常，若系统的连续部分是一个n阶的线性环节，则构成离散系统时，其相应的差分方程也是n阶的线性差分方程。•3.一个n阶差分方程中，一般包括有n个过去采样瞬时的输出值。典型的采样系统)(sR)(*sE)(sCT)(shG)(sE)(sEhs1统的差分方程。这就是上述采样控制系输出)()()1(:kTTekTcTkc差分方程的求解方法1.迭代求解)()()1)]1[(kTrkcTkc（上式可以改写为)0()0()1()1(0TrcTck)0()0()1()0()1()1()1()1()2(12TrTrTcTTrcTck101)()1()0()1()(kiikkirTTcTkc)()()()()()1(:kckrkekTTekTcTkc由于输出迭代法求解示例•例题：若描述某离散系统的差分方程为：)()2(2)1(3)(kfkykyky已知初始条件:),(2,2)1(,0)0(kkfyyk）（激励求:)(ky•解：•将方程中除y（k）以外的各项都移到等号右边，•得：•对于•类似的依次迭代可得：)()2(2)1(3)(kfkykyky代入上式，得：将已知初始值2)1(,0)0(,2yyk2)2()0(2)1(3)2(fyyy10)4()2(2)3(3)4(10)3()1(2)2(3)3(fyyyfyyy迭代法的特点1.思路清楚，便于编写计算程序，能得到方程的数值解。2.但不容易得出输出在采样时刻值的通解。•直接求解差分方程是比较困难的，因此考虑到：能否借用类似于拉斯变换的数学方法来简化方程求解？第四节Z变换0)()()(nnTtnTftf0*)()(nSnTsenTfsF0*)()()(,nnSTZnTftfZzFeZszTseZssTln1•引入变量：zTssln1或者写成：ssTezS:拉普拉斯变换的算子；Ts:采样周期；Z：一个复变量，定义在Z平面上，称为Z变换算子，记为：采样信号的Z变换：Z［f*(t)]=F(z)F(z)是采样脉冲序列的Z变换，它只考虑了采样时刻的信号值。Z变换的实质1.将差分方程转为代数方程，简化求解过程。2.复变量s与z之间的关系，反映了连续函数在s域和离散函数在z域的对应关系。级数求和法部分分式法留数计算法4.2Z变换的方法1.级数求和法•将离散函数根据定义展开,然后逐项进行拉斯变换，•F*(t)=0)()(nnTtntf可得：F(z)=f(0)×1+f(T)Z-1+f(2T)Z-2+f(nT)Z-n例8-1见教材339页例题8－4－1.ate001220111akTkaTaTkaTaTFzezezezezzezze解：例8-2求的F(Z)见教材339页例题8－4－2例8-3求解的Z变换。()()aFsssa1111()(1)()1(1)()ataTaTaTABFsssassaLFstezzzeFzzzezze解：因为而所以2.部分分式法当连续函数可以表示为指数函数之和时，可以利用这种方法。见教材339页例题8－4－322221()2211111121211222222[sin]11111()2121sinsin112cosjtjTjTjTjTssjjjjLtsssjsjLesjFzzsjezjezzTzTezezzzTz解：因为所以例8-4求][sin)(tZzFniiniTpiRezzpFrestfZzFi11*)()]([)(设连续函数f(t)的拉普拉斯变换F(S)及全部极点已知,则可用留数计算法求Z变换.当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为:TppsiezzsFpsR)()(lim111当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为:TpqqqpsiezzsFpsdsdqR)()(lim)!1(111114.2.3留数计算法例8-4-5求tcos的Z变换))(()(22jsjsssssF解:TjsTjsezzezzjsjssjsR21))(()(lim1TjsTjsezzezzjsjssjsR21))(()(lim2例8—6求ttf)(的Z变换解:21)(ssF两阶重极点!!20220)1(lim1)0(limzTzezzdsdezzssdsdRsTssTs2)1()(zTzzF322)1()1()()(zzzTzFttf例8—7•下表列出了一些常见函数及其相应的Laplace变换和Z变换，利用此表可以根据给定的函数或其Laplace变换直接查出其对应的Z变换，不必进行繁琐的计算，这也是实际中广泛应用的方法。)(tf)(sF)(zF)(t)(1tt2/2tateattetsintcos1s121s31sas12)(1as22s22ss11zz2)1(zzT32)1(2)1(zTzzaTezz2)(aTaTezzTe1sin2sin2TzzTz1cos2cos22TzzTzz常用函数的Z变换（见教材341页表8－4－1）1、线性定理2、滞后定理3、初值定理4、终值定理5、超前定理6、复数偏移定理4.3Z变换的基本定理（p342）1、线性定理)()()()()(22111zFazFazFazFazFnnniii)()()()()(22111tfatfatfatfatfnnniii设：则：函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。2、滞后定理设在t0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则:)()]([zFzkTtfZk原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。3、初值定理设函数f(t)的Z变换为F（z），并且)(lim)0(zffz)(limzFz存在，则4、终值定理设函数f(t)的Z变换为F（z），并且（1-z-1）F(z)在以原点为圆心的单位圆上和圆外均无极点，则有)()1(lim)(1zFzfzt经常用于分析计算机系统的稳态误差！！5、超前定理设函数f(t)的Z变换为0)()(nnznTfzF则：10)()()]([nnnkkznTfzzFzkTtfZ0])1[()()0(TkfTff若则：)()]([zFzkTtfZk6、复数偏移定理设函数f(t)的Z变换为F（Z），则)(])([aTatzeFetfZ长除法（幂级数展开法）部分分式法留数法（反演积分法）4.4Z反变换Z反变换是:已知Z变换表达式F(Z)f(nT)的逆过程.)]([)(1zFZnTf要点：将F（Z）用长除法变化为降幂排列的展开形式。022110110110)(nnnnnnmmmzczczccmnazazabzbzbzF4.4.1长除法（幂级数法）Z反变换为:)()2()()()(210nTtcTtcTtctctfn也即：ncnTf)(例8—8求)2)(1(10)(zzzzF的Z反变换解：2112231102310)(zzzzzzzF4321150703010)(zzzzzF)3(150)2(70)(30)(10)(TtTtTtttf步骤：①先将变换式写成zzF)(，展开成部分分式，niiizzAzzF1)(③查Z变换表②两端乘以ZniiizzzAZF1)(4.4.2部分分式法（因式分解法，查表法）例8—9求)2)(1(10)(zzzzF的Z反变换解：①110210)2)(1(10)(zzzzzzF②110210)(zzzzzF③)12(1010210)(*nntfizzncnZZFsdzZZFjnTf])([Re)(21)(11izznZZFs])([Re1函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数曲线C可以是包含F(z)zn-1全部极点的任意封闭曲线])()[(])([Re11limnizzzznzzFzzzzFsii若Zi为一重极点:若Zi为q重极点:])()[()!1(1])([Re1111limnqiqqzzzznzzFzzdzdqzzFsii3.留数法（反演积分法）例8—10求)2)(1(10)(zzzzF的Z反变换解：)2)(1(10)(1zzzzzFnn有两个一重极点2121zz10])2)(1(10)1[(])([Relim1111zzzzzzFsRnzznnnzznzzzzzzFsR210])2)(1(10)2[(])([Relim22122121121010])([Re)(inzznRRZZFsnTfi例8—11求2)1()(zTzzF的Z反变换21)1()(zTzzzFnn解：有一个两重极点1znTzTzzdzdRnz])1()1[()!12(12212121limnTRnTf)(用Z变换解二阶差分方程•用Z变换法求解下列二阶差分方程：1)1(,0)0(0)(2)1(3)2(ccncncnc对上式两边取Z变换，得0)(2)0(3)(3)1()0()(22zCzczzCzcczzCz代入初始条件，得2123)(2zzzzzzzzC查表，得nnzCLnC)2()1()()(12,1,0n•用Z变换法求解下列二阶差分方程：0)1(,0)0(0,00,1)()()(2)1(3)2(ccnnnununcncnc根据Z变换的定义有：￡［u(n)］=1对上述差分方程进行Z变换，代入初始条件，得：（Z2-3Z+2)C(z)=1211123)(2zzzzzzC查表无法获得上面两个分式对应的值，但是因为：nnzzLzzL22,1111根据Z变换的性质有：￡［c(n+1)］=Zc(z)-zc(0),C(n+1)=￡-1［zC(z)］-￡-1［zC(0)］在现在的情况下:c(0)=0,于是有：c(n+1)=21)(zzzzzzC,2,1,0,2121)(1