Z变换的基本性质

§§2.1.32.1.3zz变换的性质变换的性质主要内容线性位移性序列线性加权（Z域微分）序列指数加权初值定理终值定理时域卷积定理Parsval定理序列反折共轭序列有限项累加z域卷积定理一．线性a,b为任意常数。[]()[]()[]()212121)()()()()()()()(RzRzbYzaXnbynaxZRzRzYnyZRzRzXnxZyyxx+=+==则若ROC：一般情况下，取二者的重叠部分),min(),max(2211yxyxRRzRR即某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。(表现为叠加性和均匀性）nO)(nx4nO)2(−nx4nO)2(+nx411−211−211−2−原序列不变，只影响在时间轴上的位置。处收敛域：只会影响∞==zz,0()[][])()()()(zXzmnxZzzXnxZznxm−=−=变换为的，则其右移位后变换为的双边若序列[])()(zXzmnxZzm=+变换为：同理，左移位后的二．位移性(1)左移位性质[])()()(zXnunxZ=若[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=+∑−=−10)()()()(mkkmzkxzXznumnxZ则为正整数其中m()[]()()01zxzzXnxZ−=+()[]()()()10222zxxzzXznxZ−−=+单边z变换的位移性质(2)右移位性质[])()()(zXnunxZ=若[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=−∑−−=−−1)()()()(mkkmzkxzXznumnxZ则为正整数其中m()[]()()111−+=−−xzXznxZ()[]()()()21212−+−+=−−−xxzzXznxZ三．序列指数加权[]()12()()xxZxnXzRzR=若()()nnnnZaxnaxnz∞−=−∞⎡⎤=⎣⎦∑（z域尺度变换）()12()nxxzaxnXaRzaRa⎛⎞↔⎜⎟⎝⎠则a为非零常数12xxzRRa收敛域即12xxaRzaR()nnzzxnXaa−∞=−∞⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑同理()()21)(xxnRazRazXnxa↔−()()()21)(1xxnRzRzXnx−↔−四．序列线性加权(z域微分)[]()11ddd)(d)()()(−−−=−↔=zzXzzzXznnxzXnxZ则若)(dd)(zXzznxnmm⎥⎦⎤⎢⎣⎡−↔推广⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎜⎝⎛−−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−)(ddddddddddzXzzzzzzzzzzm表示共求导m次⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⋅=−−−−1111d)(dd)d()d()(dd)(dzzXzzzzzXzzzXz因为五．共轭序列+−=xxRzRzXnxZ,)()]([若：的共轭序列。为其中，，则：)()(;)()]([****nxnxRzRzXnxZxx+−=∑∞−∞=−=nnznxnxZ)()]([**=∑∞−∞=−nnznx**]))(([;)(]))(([****+−∞−∞=−==∑xxnnRzRzXznx，六．序列反折+−=xxRzRzXnxZ,)()]([−+=−xxRzRzXnxZ11;)1()]([∑∑∞−∞=∞−∞=−=−=−nnnnznxznxnxZ)()()]([如果则，，+−−∞−∞=−−==∑xxnnRzRzXznx11)1())((−+xxRzR11即七．初值定理()()[]())(lim)0()(0zXxznxnxZzXnxznn∞→−∞====∑则，为因果序列，且若0)1()1(=+=nnxx因为[])0()()1(xzXznx−↔+且[])0()(lim)1(xzXzxz−=∞→所以推理x(1)＝？理解()()的初值联系起来。足够大时的动态特性与在把nxzzX八．终值定理为因果序列若)(nx。收敛，才可用终值定理注意：当)(,nxn∞→根据移位性质()()()()()(1)1[1]nnzXzZxnxnxnxnz∞−=−∞⎡⎤−=+−=+−⎣⎦∑因为x(n)是因果序列，所以()(1)zXz−()()mnmnzmxmx−−=∞→∑−+=1]1[lim[])()1(lim)(lim1zXznxzn−=→∞→则，X(z)的极点处于单位圆内（单位圆上最多在z=1处有单阶极点，根据假设，X(z)的极点处于单位圆内且最多可以在z=1处有单阶极点，故(z-1)X(z)中将不存在z=1极点因为x(n)是因果序列，(z-1)X(z)所以在上都收敛，因此可以取的极限，所以1||z≤≤∞1z→()=−→zXzz)1(lim1()()∑−=∞→−+nmnmxmx1]1[lim()()()()()]12[]01[]00{[limxxxxxn−+−+−=∞→()()]}1[nxnx−+++…)(lim)1(limnxnxnn∞→∞→=+=终值存在的条件(1)X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值;例：，终值为01),(anuan(2)若极点位于单位圆上，只能位于，并且是一阶极点。1=z例：u(n)，终值为12−zz2z1−zz1z1+zz1−z()n2()n1()n1−()n5.05.0−zz5.0z()nx∞→n终值()zXROC无无有，1有，0例题九．有限项累加∑=−−−==nmxxRzzXzzmxZRznxZzXnx0]1,max[),(1)]([,)],([)()(则，且对于因果序列∑==nmmxny0)()(令证明∑∑∞−∞==−=nnmnzmx0)]([∑==nmmxZnyZ0)]([)]([则∑∑∞==−=00nnmnzmx)]([∑∑∑∞=−===000)]([)]([nnnmnmzmxmxZ∑∑∞=∞=−=0)(mmnnzmx∑∞=−−−=011)(mmzzmx]1,max[),(1−−=xRzzXzz∑∞=−−−=01)(11mmzmxz交换求和次序，得∑=nmmxZ0)]([十．时域卷积定理[]()[]()[])()()(*)()()()()(2121zHzXnhnxZRzRnhZzHRzRnxZzXhhxx===则已知),min(),max(2211hxhxRRzRR收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分即描述：两序列在时域中的卷积的z变换等效于在z域中两序列z变换的乘积。注意：如果X(z)H(z)的收敛边界上出现零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。++−−−−+−+−ππ====⋅=∫∫hxhxcchhxxRRzRRvvvzHvXvvvHvzXnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXnhnxny;d)()(j21d)()(j21)]([)()],([)(;)],([)(),()()(11则有：，且如果其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。十一．z域复卷积定理eejj则若设ωrzρvθ==[]()()θρrHρXnhnxZθθdeeπ21)()(ππjj∫−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ω从-π到π的一个周期上的卷积积分，称为周期卷积[]111()()()d2πjczZxnhnXHvvvv−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∫[]()111()()d2πjczZxnhnXvHvvv−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∫或∫∑−∞−∞=++−−+−+−π===cnhxhxhhxxvvvHvXnhnxRRRRRzRnhZzHRzRnxZzXd)1()(j21)()(1)]([)()]([)(1***则有：且：若：十二．Parsival定理其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。时，当围线取单位圆1.2=v。时，则当ωπ==∫∑ππ−ω∞−∞=d)e(21)()()(.32j2Xnxnxnhn几点说明则,ded,ejjω==ωωvv∵。ωπ=ω∗ππ−ω∞−∞=∗∫∑d)e()e(21)()(jjHXnhnxn。为实序列时，则当vvvHvxnhnxnhcnd)1()(j21)()()(.11−∞−∞=∫∑π=