极限的四则运算法则(精)

目录上页下页返回结束第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节极限运算法则目录上页下页返回结束时,有,,min21一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设,0当时,有当时,有取则当00xx22因此这说明当时,为无穷小量.目录上页下页返回结束说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，π1π21π1lim222nnnnnn1(P57题4(2))解答见课件第二节例5类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.目录上页下页返回结束定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:设Mu又设,0lim0xx即,0当时,有M取,,min21则当),(0xUx时,就有uuMM故即是时的无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.目录上页下页返回结束例1.求解:01limxx利用定理2可知说明:y=0是的渐近线.xxysin目录上页下页返回结束二、极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有证:因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)((其中,为无穷小)于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理3.若目录上页下页返回结束推论:若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf则.BA(P46定理5))()()(xgxfx利用保号性定理证明.说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令目录上页下页返回结束定理4.若,)(lim,)(limBxgAxf则有提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.)(lim)](lim[xfCxfC(C为常数)推论2.nnxfxf])(lim[)](lim[(n为正整数)例2.设n次多项式试证).()(lim00xPxPnnxx证:)(lim0xPnxx目录上页下页返回结束为无穷小(详见书P44)B2B1)(1xg)(0xUx定理5.若,)(lim,)(limBxgAxf且B≠0,则有证:因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,设BABA)(1BB)(AB无穷小有界由极限与无穷小关系定理,得BAxgxf)()(因此为无穷小,目录上页下页返回结束定理6.若,lim,limByAxnnnn则有)(lim)1(nnnyxnnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3,4,5直接得出结论.目录上页下页返回结束x=3时分母为0!31lim3xxx例3.设有分式函数其中都是多项式,试证:证:)(lim0xRxx)(lim)(lim00xQxPxxxx说明:若不能直接用商的运算法则.例4.)3)(3()1)(3(lim3xxxxx若目录上页下页返回结束例5.求解:x=1时,3245lim21xxxx031241512分母=0,分子≠0,但因目录上页下页返回结束例6.求解:22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则“抓大头”原式目录上页下页返回结束一般有如下结果：为非负常数)(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110目录上页下页返回结束三、复合函数的极限运算法则定理7.设且x满足时,,)(ax又则有证:,0,0当au0时,有Auf)(,02当200xx时,有ax)(对上述取,,min21则当00xx时ax)(au故0Auf)(,①因此①式成立.目录上页下页返回结束定理7.设且x满足时,,)(ax又则有])([lim0xfxx说明:若定理中,)(lim0xxx则类似可得])([lim0xfxxAufu)(lim目录上页下页返回结束例7.求解:令932xxu,仿照例4ux3lim6131lim3xx∴原式=6166(见P34例5)例4目录上页下页返回结束例8.求解:方法1,xu则,1lim1ux令11112uuxx1u∴原式)1(lim1uu2方法21)1)(1(lim1xxxx)1(lim1xx2目录上页下页返回结束内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法0)1xx时,用代入法(要求分母不为0)0)2xx时,对00型,约去公因子x)3时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7目录上页下页返回结束思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式22)1(limnnnn)11(21limnn212.问目录上页下页返回结束3.求解法1原式=xxxx1lim21111lim2xx21解法2令,1xttttt1111lim2021则原式=22011limttt111lim20tt0t目录上页下页返回结束4.试确定常数a使解:令,1xt则tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a因此目录上页下页返回结束作业P491(5)，(7)，(9)，(12)，(14)2(1)，(3)3(1)5第六节目录上页下页返回结束备用题设解:利用前一极限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一极限式,得xxfx)(lim30可见是多项式,且求)(lim0xbax故