数学建模实习报告7

第1页共6页西北农林科技大学实验报告学院名称：理学院专业年级：2011级信计1班姓名：xxx学号：xxx课程：数学模型与数学建模报告日期：2013年12月21日一实验题目：北美五大湖湖水污染模型二实验问题陈述:下表给出了五大湖中四个湖的观测数据，使用这些数据建模对其中的一个或两个湖的污染给出进一步的分析。北美五大洲的观测数据：特征苏比利尔湖密执安湖伊利湖安大略湖长度/km宽度/nm面积/km2水面流域陆地总和最大深度/m平均深度/m水的体积/km3平均年降雨/mm平均流量/（升/秒）水的平均保存时间/年5602568236712483820720040614812221736206736018949018858015117845175860281844871787501264034.83859125665879384459601715886355507202.63098519684704489013224486163686366268807.8问题分析：在北美的五大湖中，安大略湖处于伊利湖的下游，但安大略湖不仅接受伊利湖来的水，还要接受非伊利湖流入的水．试建模描述这两个湖的污染情况．如果流入安大略的水有5/6是伊利湖流出的，对它们的污染情况给出进一步的分析。假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流动外，流入伊利湖和安大略湖的所有污染都暂时被停止了．试计算把安大略净化到50%以及5%所需要的时间。三实验目的:了解本次实习中的主要内容，即五大湖湖水污染模型；四实验内容:第2页共6页(1)模型假设:（1）不区分不同的污染物所造成的污染，不考虑从不同的渠道流入与流出湖泊之间的区别。只考虑携带污染物的水流入湖泊和湖泊中的水流出对湖水污染程度的影响。因此可以把伊利湖看成是一个单流入、单流出的系统，把安大略湖看成是一个双流入、单流出的系统。（2）流入湖泊的污染物能以很快的速度与湖中的水均匀混合，也就是说湖中的污染状况与任何局部水体在湖中的位置无关。（3）参与模型的变量是连续变化的，并且充分光滑。（4）湖水的体积保持不变，也就是说假设由降水等原因所引起的流入物增量与被蒸发、渗漏所造成的损失量互相抵消。不考虑湖水体积季节上的差异。（5）不考虑生物学因素在水体自净过程中的作用。污染物除流出外不因腐烂、沉积或其他任何手段从湖中消失。(2)符号说明:根据假设（1）（2）（5），如果我们把湖泊看成水池，湖中的污染物看成是水池中的盐，那么湖水污染问题就简化为水池中含盐量模型我们仍然令：1()rt：t时刻流入伊利湖湖水的流速；2()rt：t时刻从伊利湖流入安大略湖湖水的流速；3()rt：t时刻从非伊利湖流入安大略湖湖水的流速；1()Pt：t时刻流入伊利湖湖水的污染物浓度；2()Pt：t时刻从伊利湖流入安大略湖水的污染物浓度；3()Pt：t时刻非伊利湖流入安大略湖湖水的污染物浓度；()Pt：t时刻伊利湖湖水中污染的浓度；1()t：t时刻从安大略湖流出湖水的污染物浓度；1()St：t时刻从伊利湖流出的水的流速；2()St：t时刻从安大略湖流出的水的流速；()Qt：t时刻安大略湖湖水中的污染浓度；1V：t时刻伊利湖湖水的体积；2V：t时刻安大略湖湖水中的体积。(3)问题分析:假设伊利湖是一个体积不变的水池，并假设流入伊利湖的流速等于伊利湖的流速。假设流入伊利湖的湖水是含有污染物的，而流出伊利湖的湖水也携带污染物。则伊利湖是一个有污染物注入，又有污染物排出的系统。根据污染物出入的情况获得伊利湖污染物量随时间变化的关系。根据假设：流入安大略湖的水不仅来自伊利湖，而且来自非伊利湖的湖水。根据流入污染物和排出污染物求一阶线性微分方程。用来描述安大略湖内污染物随时间变化的情况。但是这些是很简单的处理问题，考虑实际情况时，要有很多因素影响着伊利湖和安大略湖的污染物总量。湖水中污染物量不仅包括湖水的流出和流入，还有降雨和蒸发第3页共6页等。所以必须根据湖水内污染物的量随时间变化的实际情况建立更加合理的模型。(4)模型的建立与求解：○1伊利湖污染情况模型由假设（3），它们都是连续而且充分光滑的。由假设（4）可知伊利湖的体积1V为常数。利用池水含盐问题中得到的数学模型就有11122()()()()()dPtVPtrtPtrtdt由于V为常数，故有12()()rtrt，另外根据假设（2），流出的污染物应与湖水中污染物有相同的浓度2()()PtPt。进一步我们假定从湖中流出的湖水的流速为常数，于是有120()()rtrtr。这样，我们得到：○2安大略湖污染情况模型由于2V为常数，故有232rrS，另外根据假设（2），流出的污染物应与湖水中污染物有相同的浓度1()()tQt。进一步我们确定从湖中流出的湖水20SS（常数）的流速为常数0S，于是有0323222()()()()oSrrtdQQtPtPtdtVVV○3进一步分析污染情况2256Sr2316Sr2065rS306rS000232226()()6()5SSSdQQtPtPtdtVVV220330()()()()()dQVPtrtPtrtSQtdt00222()()SrdQQtPtdtVV112(()())odPVrPtPtdt2223321()()()()()()dQVPtrtPtrtSttdt第4页共6页令20VS，不难理解给出了排尽湖水所需要的时间或称之为湖水的保留时，于是就得到了湖水污染的模型。23()66()()5dQQtPtPtdt由5.1.2知安大略湖污染物情况模型为00323222()()()()SrrtdQQtPtPtdtVVV又因为流入伊利湖和安大略湖的所有污染都暂时被停止，得到13()()0PtPt则有令20Vr，不难看出给出了由伊利湖单独灌满湖水所需的时间，于是就有了下列模型2()()PtdQQtdt设2()Ptk(常数)，可以以为伊利湖每天的污染物是以其平均值流入安大略湖内，如果已知在初始时刻0t有(0)sQQ，那么模型（5-3-3）可以化解为下列式子：()dtdttkkQteedtcce当()sQtQ时，skcQ即()()tskkQtQe从这个结论我们可以看到:(1)sQk时，污染物的浓度将逐渐减小，而当sQk时污染物的浓度随时间而增加，而且有lim()tQtk，称k为该湖泊最终污染情况。(2)由（5-3-3）可以看出，当流入浓度k给定时，湖水污染物浓度的变化速率只依赖于湖水的保留时间，并与的大小成反比。第5页共6页讨论：①若k=0即2()0Pt表示伊利湖中()0Pt没有污染物流出。这时，由式得到ln/()stQQt当50%()sQQt时，0.5ln2t当5%()sQQt时，0.05ln20t②称()/kQt为湖水在t时刻的污染水平，1时，为饱和污染水平；1时，为超饱和污染水平。容易看出，这时污染物浓度将不断下降；1时，湖水的污染状况不断加重。若0sQ即安大略湖一开始时未污染的，则t时刻的污染水平/()1tte，则对于给定的水平1，湖水的污染程度达到水平所需的时间为ln1t。当0.5时有1/2ln20.7t0.05时，有0.05100ln95t对于0sQ的情形，当/1skQ时，水体达到污染水平所需的时间为0ln1/1t，其中0/skQ①由式得：0.50.7t，为水的平均保存时间，对于伊利湖2.6，0.51.82t；对于安大略湖7.8，0.055.46t。由式得：对于伊利湖0.05ln2037.8t；对于安大略湖0.05323.4t。②由式得：0.50.7t对于伊利湖0.51.82t，对于安大略湖0.55.46t由式得：0.050.051t对于伊利湖0.050.1326t，对于安大略湖0.050.3978t第6页共6页五实验结果分析与讨论:蒸发和渗漏:对于一个大湖，蒸发和渗漏也是湖水减少不可忽略的因素。考虑这些约束条件iorr必须放宽。这时我们不妨假设()orkVt。这样一来在建模过程的平衡方程中就需要添加一个输出项()()AptVt。这样还需要对参数A给出估计，这将不是一件容易的事。污染物：不同的污染物对于湖水污染的影响行为特征是不同的。如：DDT，由于它容易溶解在机体的脂肪中，随着生物的吸收，保留了大部分ＤＤＴ，而且几乎不可能使之在生物圈内消除。可以料想，在一个相当长的时间内，DDT将保留在湖里的生物中，要想把DDT从湖中排除掉的最大可能是把它慢慢地分解成危害较小的化合物或水中的生物离开湖泊，比如猛禽捕食鱼类和人类的捕捞活动。然而磷的性状不同，塔大量存在于人们的生活垃圾、化肥和洗涤剂中。这种元素的含量过多可能引起湖中水藻激增，水体发臭。水藻死去后沉落湖底。许多磷以这种方式暂时从湖中除掉。一旦藻类腐烂，磷又回到湖水中，一部分被排出去，一部分又重新进入生物圈。深入建模描述污染现象时必须考虑到这些特征。快速混合:这是一个不切实际的假设，很可能与实际相差很远。如果考虑到污染物在湖内扩散的过程将大大增加模型的复杂程度。对于由这个假设所带来的误差，至少也要给出一个大致的估计。六实习总结：通过本次的实习，一方面自己对MATALAB编程进一步熟悉，进一步增进了对这款软件的理解和运用，另一方面通过建模求解湖水污染模型学会了如何利用数学建模的知识来求解诸如此类的实际问题。