数学建模层次分析法

第六讲层次分析模型背景•日常工作、生活中的决策问题•涉及经济、社会等方面的因素•作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化•Saaty于1970年代提出层次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)•AHP——一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途一.层次分析法的基本步骤例.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地”思维过程的归纳•将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。•通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。•将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1,0,)(层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性ijjiaCC:A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地nnnnnn21222121211171242/11A成对比较的不一致情况):(2/12112CCa):(43113CCa):(83223CCa一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况n,,)1(21jiijwwa/令权向量~),,(21Tn成对比较阵和权向量wAwnnnnnn212221212111成对比较完全一致的情况nkjiaaaikjkij,,2,1,,,满足的正互反阵A称一致阵，如•A的秩为1，A的唯一非零特征根为n•A的任一列向量是对应于n的特征向量•A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质成对比较阵和权向量2468比较尺度aijSaaty等人提出1~9尺度——aij取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579ija相同稍强强明显强绝对强的重要性jiCC:jiCC:~aij=1,1/2,,…1/9的重要性与上面相反•心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个•用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。•便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n阶正互反阵最大特征根n,且=n时为一致阵1nnCI定义一致性指标:CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。定义一致性比率CR=CI/RI当CR0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致性检验组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为Tn),,()2()2(1)2(同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量12/15/1212/15211B方案层对C1(景色)的成对比较阵1383/1138/13/112B方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根12…n权向量w1(3)w2(3)…wn(3)第3层对第2层的计算结果k)3(kwkkCI10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58(n=3),CIk均可通过一致性检验w(2)0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)TTn),,()2()2(1)2()2()3()3(组合权向量第1层O第2层C1,…Cn第3层P1,…Pmnk),,()3()3(1)3(第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量],,[)3()3(1)3(n构造矩阵则第3层对第1层的组合权向量)2()3()1()()(第s层对第1层的组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。二.层次分析法的广泛应用•应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。•处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。•建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。•构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位置供选择的岗位例1国家实力分析例2工作选择过河的效益A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构例3横渡江河、海峡方案的抉择过河的代价A经济代价B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水的污染C8对生态的破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2（2）过河代价层次结构例3横渡江河、海峡方案的抉择待评价的科技成果直接经济效益C11间接经济效益C12社会效益C13学识水平C21学术创新C22技术水平C23技术创新C24效益C1水平C2规模C3科技成果评价例4科技成果的综合评价三.层次分析法的若干问题•正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？•怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？•为什么用特征向量作为权向量？•当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？1.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质定理1正矩阵A的最大特征根是正单根，对应正特征向量w，且TkTkkeweAeeA)1,,1,1(,lim定理2n阶正互反阵A的最大特征根n,=n是A为一致阵的充要条件。正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。一致性指标定义合理1nnCI2.正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算•精确计算的复杂和不必要•简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。和法——取列向量的算术平均14/16/1412/1621A例091.0077.01.0364.0308.03.0545.0615.06.0w089.0324.0587.0286.0974.0769.1Aw009.3)089.0268.0324.0974.0587.0769.1(31列向量归一化算术平均wAw精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010根法——取列向量的几何平均幂法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，设置精度)()1(~kkAww2)计算nikikk)1()1()1(~/~3）归一化nikikiwwn1)()1(~15)计算简化计算4）若，停止；否则，k:=k+1,转2)()1(maxkikiiww3.特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应问题一致阵A,权向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,应选权向量w使wi/wj与aij相差尽量小（对所有i,j)。211),,1(minninjjiijni用拟合方法确定w非线性最小二乘211),,1(lnlnminninjjiijni线性化——对数最小二乘结果与根法相同•按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。成对比较Ci:Cj(直接比较）aij~1步强度)()2(2ijaAsjnsisijaaa1)2(aisasj~Ci通过Cs与Cj的比较aij(2)~2步强度更能反映Ci对Cj的强度步强度kaaAkijkijk~),()()(多步累积效应体现多步累积效应),1,,,,)()()()(00nsaaaakkkjikjskiskjskis（或定理1weAeeAkTkklim特征向量体现多步累积效应当k足够大,Ak第i行元素反映Ci的权重求Ak的行和4.不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联不完全层次结构设第2层对第1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3层对第2层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得讨论由w(2),W(3)=(w1(3),w2(3))计算第3层对第1层权向量w(3）的方法贡献O教学C1科研C2P2P1P3P4例:评价教师贡献的层次结构P1,P2只作教学,P4只作科研,P3兼作教学、科研。C1,C2支配元素的数目不等)/(),(~)2(22)2(11)2(22)2(11)2(wnwnwnwnwT•不考虑支配元素数目不等的影响)2()3()3(仍用计算•支配元素越多权重越大用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的评价应为：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1再用计算)2()3()3(~w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)