数学建模差分方程

差分方程模型在实际中许多变量是离散变化的，如人口.商品件数.生产周期等，而离散的运算具有可操作性，差分方程正是联系连续变量与离散的一座桥梁（如摩尔.库仑）。差分方程主要用来解决离散型问题。１．差分方程的平衡点及其稳定性设有未知序列，称nx0,,,;1knnnxxxnF1为k阶差分方程，若有，满足：nxxn0,,1,;knxnxnxnF则称是差分方程的解nxxn1包含k个任意常数的解称为的通解1为已知条件时，称其为的初始条件110,,,kxxx1通解中的任意常数都有初始条件确定的解称为的特解1形如：nfxnaxnaxnkknkn112称为k阶线形差分方程，其中为已知的系数，且nai0nak若差分方程中的，则称差分方程为k阶齐次线性差分方程，否则，称为k阶非齐次线性差分方程220nf若有常数a是差分方程的解，即则称a是差分方程的平衡点10,,,;aaanF若已知，则形如的差分方程的解可以在计算机上实现，下面给出一些理论上容易求解的特殊差分方程的解及其简单应用。110,,,kxxx11,,,;knnnknxxxngx一阶常系数线形差分方程：baxxnn131,0,aba为常数，其中的通解为：1abacxnn4平衡点。是方程的易知31ab是稳定的平衡点。时，式之，当且仅当由114aba二阶常系数线形差分方程：rbxaxxnnn125为常数其中rba,,当时，它有一特解，当时，且时，它有一特解，不管哪种情形，是方程的平衡点，设方程的特征方程550rx0r01ba1barxx02ba21，的两个根分别为：其解为：（1）当是两个不同实根时，方程的通解为：21,5nnnccxx2211（2）当是两个相同实根时，方程的通解为：215nnnccxx21（3）当是一对共轭复根时，sincos2,1i方程的通解为：5ncncxxnnsincos21易知，当且仅当特征方程的任意特征根时，平衡点是稳定的1ix二阶方程的上述结果可以推广到k阶线形方程，即k阶线性方程平衡点稳定的条件是特征方程的根均满足：（即均在复平面上的单位圆内）kii,,2,11i差分方程的求解方法和微分方程相似，为什么会这样呢？？？下面仅简单介绍一阶非线性差分方程：nnxfx16的平衡点的稳定性其平衡点由代数方程解出，为分析其平衡点的稳定性，将方程的右端在点作Taylor展开xxfx6nxfx只取一次项近似为：xxxfxfxnn17（7）是（6）的近似线性方程，也是的平衡点，关于线性方程平衡点稳定的条件上面已给出。x7而当时，方程与的平衡点的稳定性相同，于是得到：671xf（1）当时，对于非线性方程，是稳定的。1xf6x1xf（2）当时，对于非线性方程，是不稳定的。6x1市场经济中的蛛网模型2减肥计划——节食与运动3差分形式的阻滞增长模型4按年龄分组的种群增长差分方程建模举例1市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系)(kkxfy生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0)(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点gfKKxy0y0x0P0fg)(kkxfy)(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkkgfKK曲线斜率蛛网模型0321PPPP)(kkxfy)(1kkyhx在P0点附近用直线近似曲线)0()(00xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定P0不稳定0xxkkxfKgK/1)/1()/1(1方程模型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致)(00xxyykk~商品数量减少1单位,价格上涨幅度)(001yyxxkk~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格1经济稳定结果解释经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直]2/)[(0101yyyxxkkk模型的推广•生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。)(00xxyykk生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变,2,1,)1(22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22,1012)1(22xxxxkkk方程通解kkkccx2211(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根022平衡点稳定，即k,xkx0的条件:12,12平衡点稳定条件比原来的条件放宽了122,1模型的推广2减肥计划——节食与运动背景•多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持•通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析•体重变化由体内能量守恒破坏引起•饮食（吸收热量）引起体重增加•代谢和运动（消耗热量）引起体重减少•体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25~正常；BMI25~超重;BMI30~肥胖.模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克/(80001•确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收热量~代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000千卡w=100千克不变wcww025.0100800020000wc•第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡1)1()(kwkwk20012000)()1()()1(kwkckwkw第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09,1,0,20012000)1(kkkc吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划]1)([1)1(kwkc10000mC])1()1(1[)()1()(1nmnCkwnkw•第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克代入得以10000,80001,025.0mC50]50)([975.0)(kwnkwnmmnCCkw])([)1(1）不运动情况的两阶段减肥计划)()1()()1(kwkckwkw基本模型mCkwkw)()1()1(nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n•第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克50]50)([975.0)(kwnkwn第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按减少至75千克。)19,,2,1(50975.040)(nnwn19975.0lg)40/25lg(n)028.0()025.0(t24,003.0tt即取运动t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量(千卡):跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周运动时间(小时))()()1()()1(kwtkckwkw基本模型6.44)6.4490(972.075n14nmmnCCkwnkw])([)1()(3）达到目标体重75千克后维持不变的方案)()()1()()1(kwtkckwkw每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变wtCww)(wtC)()(1500075025.08000千卡C•不运动)(1680075028.08000千卡C•运动(内容同前))1()(Nxrxtx,2,1),1(1kNyryyykkkk3差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)t,xN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t)~某种群t时刻的数量(人口)yk~某种群第k代的数量(人口)若yk=N,则yk+1,yk+2,…=N讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？y*=N是平衡点kkyNrrx)1(1rb记)1()1(1Nyryyykkkk离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性kkkyNrryry)1(1)1(1)2()1(1kkkxbxx一阶(非线性)差分方程(1)的平衡点y*=N讨论x*的稳定性变量代换(2)的平衡点brrx111*(1)的平衡点x*——代数方程x=f(x)的根稳定性判断)2())(()(***1xxxfxfxkk(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点1)(*xfx*是(2)和(1)的稳定平衡点1)(*xfx*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识一阶非线性差分方程)1()(1kkxfx的平衡点及稳定性)21()(**xbxf1)(*xf0yxxy)(xfy4/b*x2/11)1()(xbxxfx)1(