数学归纳法典型例题

课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动数学归纳法是用来证明某些与有关的数学命题的一种方法．基本步骤：①证明：当时，命题成立；②假设时命题成立，证明：当时，命题成立．根据①②可以断定命题对一切正整数n≥n0都成立．数学归纳法部分1．数学归纳法正整数2．数学归纳法证明步骤n＝n0n＝k(k≥n0)n＝k＋1课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动1.说明：归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．“观察——猜想——证明”是解答与正整数有关命题的有效途径．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动利用数学归纳法证明的命题范围比较广泛，可以涵盖代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等等，所涉及的题型主要有以下几个方面：(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和；(2)由一些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命题成立的参数的值或范围；(3)猜想并证明对正整数n都成立的一般性命题．2.数学归纳法的主要应用课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．3．应用数学归纳法的注意事项课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【例1】用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)．．题型一恒等式问题课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．证明课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项．难点在于寻找n＝k时和n＝k＋1时的等式的联系．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【训练1】用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N＋)解(1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边．等式成立．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动(2)假设n＝k(k≥1)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，则当n＝k＋1时，1－12＋13－14＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2.即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)(2)可知，对一切正整数n等式都成立．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【例2】几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，求证这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧段数为f(n)＝n2.(n≥2，n∈N＋)．题型二几何问题[思路探索]验证n＝2时成立―→文字说明fk＋1－fk的增量―→验证fk＋1＝k＋12成立课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动解(1)如图，n＝2时，两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f(2)＝4＝22.(2)假设n＝k时，f(k)＝k2成立，当n＝k＋1时，第k＋1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k＋1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧，另外原k个半圆把第k＋1个半圆分成k＋1段，这样又多出了k＋1段圆弧．∴f(k＋1)＝k2＋k＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.由(1)，(2)可知命题得证．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【训练2】平面上有n条直线，它们之间任何两条不平行，任何三条不共点，求证这n条直线将平面分成nn＋12＋1部分．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动解当n＝1时，一条直线把平面分成两部分，1×1＋12＋1＝2，所以当n＝1时，命题成立．假设当n＝k时，命题成立，即k条直线把平面分成kk＋12＋1个部分．当n＝k＋1时，这k＋1条直线中的k条直线把平面分成kk＋12＋1部分，第k＋1条直线与前k条直线共有k个交点，将第k＋1条直线分成k＋1部分，这时将平面多分成了k＋1部分，即k＋1条直线把平面分成kk＋12＋1＋(k＋1)＝k＋1k＋22＋1部分，所以当n＝k＋1时，命题也成立，故原命题成立．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动题型三不等式问题【例3】已知n∈N＋，n2，求证：1＋12＋13＋…＋1nn＋1.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动证明(1)当n＝3时，左边＝1＋12＋13，右边＝3＋1＝2，左边右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥3)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k＞k＋1.当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1k＋1＋1k＋1＝k＋1＋1k＋1＝k＋2k＋1.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动∵k＋2k＋1k＋2k＋2＝k＋2＝k＋1＋1，∴1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1k＋1＋1，∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)，(2)知对一切n∈N＋，n2，不等式恒成立．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【训练3】求证：1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n56(n≥2，n∈N＋)．证明(1)当n＝2时，13＋14＋15＋1656，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，命题成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k56，则当n＝k＋1时，1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋1课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋156＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋156＋3×13k＋3－1k＋1＝56.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)，(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋都成立．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【例4】(12分)在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．题型四“归纳、猜想、证明”问题审题指导课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【解题流程】由条件得an，bn，an＋1，bn＋1之间的关系―→代入a1＝2，b1＝4，求出a2，a3，a4，b2，b3，b4的值―→归纳猜想an，bn的通项公式―→用数学归纳法证明所得结论[规范解答]由条件得2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1.由此可以得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动②假设当n＝k(k∈N＋)时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝a2k＋1bk＝(k＋2)2，所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【题后反思】对于已知递推公式求通项公式，可以把递推公式变形转化成我们熟悉的知识来解决，当用上述方法不能解决问题时，常用归纳、猜想和证明的方法来解决问题，用该法要求计算准确，归纳、猜想正确．然后用数学归纳法证明猜想对任何自然数都成立．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【训练4】设数列{an}满足an＋1＝an2－nan＋1，n＝1,2,3，…(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2.(3)在（2）的前提下，证明：(1)解由a1＝2，得a2＝a21－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a22－2a2＋1＝4，由a3＝4，得a4＝a23－3a3＋1＝5，由此猜想an的一个通项公式：an＝n＋1(n≥1)2111111121naaa课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动(2)证明①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1)时不等式成立，即ak≥k＋2，那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3.即n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.由①②可知，对n≥1，都有an≥n＋2.（3）证明（略）学生证自己证课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【示例】当n为正奇数时，7n＋1能否被8整除？若能，用数学归纳法证明；若不能，请举出反例．[错解](1)当n＝1时，7＋1＝8能被8整除．命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即7k＋1能被8整除．则当n＝k＋1时，7k＋1＋1＝7(7k＋1)－6不能被8整除．由(1)和(2)知，n为正奇数时，7n＋1不能被8整除．题型五整除问题课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动不要机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n是正奇数的条件．证明前要看准已知条件．[正解](1)当n＝1时，7＋1＝8能被8整除，命题成立；(2)假设当n＝k时命题成立，即7k＋1能被8整除，则当n＝k＋2时，7k＋2＋1＝72(7k＋1)＋1－72＝49(7k＋1)－48，因为7k＋1能被8整除，且48能被8整除，所以7k＋2＋1能被8整除．所以当n＝k＋2时命题成立．由(1)和(2)知，当n为正奇数时，7k＋1能被8整除．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除，这是数学归纳法证明整除问题的一大技巧.