二次函数图像与性质(一)

二次函数y=ax2的图象与性质•1.在上届珠海航空节中，某飞行员在特技飞行表演过程中，表演了一个俯冲动作，飞机飞行的路线近似于二次函数y=x2，你能画出飞机飞行的路线图吗？引入13•在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2与y=-x2的图象.例题xy1xy2xy=x2y=-x2..................0-2-1.5-1-0.511.50.52函数图象画法列表描点连线00.2512.2540.2512.254描点法用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结0-0.25-1-2.25-4-0.25-1-2.25-42xy2xy2xy2xy想一想•观察并比较这两个图象，你发现有什么共同特和不同点？各自有什么特征，对应着的性质怎么样？观察图象,回答问题串(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.(3)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x0时,随着x的值增大,y的值如何变化？当x0呢？(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？xy0-4-3-2-11234108642-21y=x2二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。2xy2xy这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.2xy当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.2xy当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大.当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而减小.y当x=-2时,y=-4当x=-1时,y=-1当x=1时,y=-1当x=2时,y=-4抛物线y=-x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.2xy2xy二次函数y=ax2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：例1在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象。2121x…-4-3-2-101234…y=x2……210212122292988x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x2……0212122292988-121-6-4-2246x987654321yy=2x2y=x2021-6-4-2246x987654321yy=2x2y=x20当a0，图象开口向上顶点是抛物线的最低点，a越大开口越小反之越大对称轴1-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468yx021y=-x2y=-x2y=-2x2当a〈0时，图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。a确定着抛物线的……2xy2xy2.当a0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.小结拓展1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.由二次函数y=x2和y=-x2知：当a的绝对值越大，则函数图象越靠近y轴.4.抛物线y=ax2与y=-ax2关于X轴对称,也关于原点对称.•1.不画图象，说出抛物线y=-4x2和y=x2的对称轴、顶点坐标和开口方向.练一练1422xy232xy根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是,对称轴是，在侧，y随着x的增大而增大；在侧，y随着x的增大而减小，当x=时，函数y的值最小，最小值是,抛物线y=2x2在x轴的方（除顶点外）。（2）抛物线在x轴的方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的；在对称轴的右侧，y随着x的，当x=0时，函数y的值最大，最大值是，当x0时，y0.232xy（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上下增大而增大增大而减小0•2.记r为圆的半径，S为该圆的面积，有面积公式S=πr2，表明S是r的函数.画出函数S=πr2的图象.练一练函数S=πr2的图象:注意r0的条件.活动与探索已知二次函数y=mxm²+m当m取何值时它的图象开口向上。（1）当x取何值时y随x的增大而增大。（2）当x取何值时y随x的增大而减小。练习2、已知函数是二次函数，且开口向上。求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律xmxmymm212221、已知y=（k+2）x是二次函数，且当x0时，y随X增大而增大，则k=；k2+k-4已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上。（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2,解出a=-2,所求函数解析式为y=-2x2.（2）因为，所以点B（-1，-4）不在此抛物线上。2)1(24（3）由-6=-2x2,得x2=3,所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是3x)6,3()6,3(与ykxb2yaxykxbxy例2已知一次函数与函数的图象如图所示，其中与轴、轴交于A（2，0）、B（0，2）；与二次函数图象的交点为P、Q，P、Q的纵坐标之比1∶4，求这两个函数解析式.ABPQxyO