B11_薛定谔方程

第2章薛定谔方程处于“死－活叠加态”的量子猫本章目录§2.1薛定谔方程的建立与算符§2.2无限深方势阱中的粒子§2.3势垒穿透§2.4一维谐振子§2.1薛定谔方程的建立与算符1926年，在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德布罗意关于粒子波动性假说的论文，在薛定谔讲完后，物理学家德拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动，必须有波动方程。几个星期后，薛定谔(Schrödinger)又作了一次报告。开头就兴奋地说：你们要的波动方程，我找到了！这个方程，就是著名的薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的。同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。1、自由粒子的薛定谔方程xptEipxEthieetx020,分别对时间求一阶偏导数，对空间求二阶偏导数Etipxi2h2222px非相对论E=p2/2m2222xmti把波函数与方程E=p2/2m相乘22pEmEti2222xpxxpxi注意到算符与物理量的替代关系非相对论粒子有关系式mpEx22＝得自由粒子的薛定谔方程),(2),(222txxmtxtiEti2222xpx令其作用于波函数上),(tx物理量与算符替代关系动量用算符表达zipyipxipzyxˆ,ˆ,ˆizkyjxiipˆ2.力学量用算符表达zzyyxxˆ,ˆ,ˆ坐标用算符表达kzjyixrˆ算符(operator)对波函数的运算、变换或操作。算符只是一种抽象的数学记号，本身并不象经典力学中的力学量那样具有实在的物理含义。若粒子在势场中，势能函数为U(x,t)，则粒子总能量22pEUm3、势场中运动的粒子的薛定谔方程算符对应关系：),(2222txUxmti作用于波函数，得三维：),(22222222trUzyxmti2222222zyx引入拉普拉斯算符薛定谔方程：222(,)(,)(,)2ixtUxtxttmx22ˆ(,)2HUrtm引入哈密顿算符(Hamiltonianoperator)Htiˆ4、关于薛定谔方程的说明是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理方程中含有虚数i它的解是复函数，复数不能直接测量。而的模方代表概率密度，可测量。是量子力学的一个基本原理；是量子力学的基本方程，描述非相对论性粒子波函数的演化规律。若1和2是方程的解，则它们的线性组合（C11＋C22）也一定是方程的解。薛定谔方程关于时间是一阶的，这不同于经典波动方程（时间二阶）2222ut薛定谔方程的解满足波函数的性质,因而在求解薛定谔方程时，还要加上一些条件：波函数平方可积，且满足归一化条件；波函数及其对空间的一阶导数连续；波函数必须单值，有限。5、定态薛定谔方程)()](ˆ[)(d)(dtTrHrttTi)(ˆ)(1)(1d)(drHrtTttTi)()(),(tTrtr除以，得()()rTt若势函数U不显含t，为求解薛定谔方程，分离变量代入薛定谔方程，得=E(常数)可分为以下两个方程：),(22222222trUzyxmti含时薛定谔方程ˆ()().......(2)HrEr()().......(1)TtiETttdd上式左边是t的函数右边是r的函数且两变量相互独立两边必须等于同一个常量时才成立)(d)(dtETttTi解为EtiCetT)(－振动因子1)E的量纲是能量的量纲所以E代表粒子的能量2)C可以是复数3)从推导过程可知方程(1)的解与具体势函数无关所以在类似问题中作为已知结果使用4)物理上主要任务是解方程(2))()(ˆrErH)()(ˆrErH不含时薛定谔方程、定态薛定谔方程、能量本征方程22()()()2UrrErm•从数学上讲，E不论取何值，方程都有解。)(rU的具体形式•依赖于方程的解是什么呢?•从物理上讲，E只有取一些特定值，方程的解才能满足波函数的条件（单值、有限、连续）•定态(stationarystate):能量取确定值的状态•满足方程的特定的E值，称为能量本征值•各E值所对应的叫能量本征函数，故该方程又称为：能量本征值方程)(rE•定态波函数:EtiEEEerCtTrtr)()()(),(薛定谔方程的特解若能量本征值取一系列分立的值{En，n=1,2,3,…}相应的能量本征函数为{Φn，n=1,2,3,…}薛定谔方程的一系列定态解为通解可写成定态解叠加的形式,3,2,1,)(),(nextxtEinnntEinnnnnnnexCtxCtx)(),(),(式中Cn称为展开系数。给定初始时刻的状态Ψ(x,0)，Cn可按下式计算xxxCnnd)0,()(*1).定态薛定谔方程，没有初始条件，只与边界条件有关；2).在定态下：①粒子在空间的概率分布不随时间变化；②能量不变；③力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化。量子力学唯一可以和实验进行比较的是力学量的平均值——平均值的假定§2.2无限深方势阱中的粒子给定势能函数U(x)，求粒子的能量En和相应的本征函数Φn(x)设一粒子在势能为U的力场中，并沿x轴作一维运动-a/2a/2xU(x)一维无限深势阱2()02axUxax22()()()0mxEUxx22()()()2UxxExm-a/2xa/2时，22220dmEdx222mEk令2220dkdx通解：()sinxAkx（）x-a/2或xa/2时,U=∞→Ф=0,0,0,02xappEa金属内部的自由电子很难逸出表面→处于以金属块表面为边界的无限深势阱中）（kxAxsin)(待定常数A、由应满足的物理条件决定。以上的解已自然满足单值，有限的条件。连续条件：,0sin()022akaxA12kal由于边界外=0，所以有：l1、l2、l为整数。122)2llll（l取0或1时(x)有以下两种表示：,0sin()022akaxA22kalkxAsino奇函数(oddfunction)→奇宇称kxAcose▲l=0时，=0，▲l=1时，=/2，l为其他整数值时，所得解与o(x)、e(x)形式相同（可能差正、负号，但不影响||2）偶函数(evenfunction)→偶宇称由0)2/sin()2/(okaAa，，，642,nnka0)2/cos()2/(ekaAa由，，，531,nnka00En（）两者合并在一起，可得，，，，，54321,nnka得2222）（ankmE由22221,2,3,2nEnnma这表明，束缚在势阱内的粒子的能量只能取离散值En——能量量子化，每一能量值对应一个能级，En称为能量本征值，n称为量子数。最低能级En∝n2,能级分布不均匀，能级越高，密度越小能级间隔022221maE222211)12(2ΔmanmaEEEnnnnnnnEEnnn1212Δ12ΔnaEmnnEEnΔ宏观情况或量子数很大时，可认为能量连续。——对应原理,3,2,18222nmahnEn222121maEn4212EEn9312EEn16412EEnxOaE1、能量2.波函数（1）波函数的空间部分nxanAkxAoosinsinnxanAkxAeecoscos），，，（642n），，，（531n归一化条件：22/2/2222/2/o2dsind1AaxanAxaaaan2Aa能量本征函数：xanansin2oxanancos2e），，，（642n），，（531n2ax2ax0（2）全部波函数tnEinnextx)(),(考虑振动因子有该函数称“能量本征波函数”，每个本征波函数所描写的状态称粒子的“能量本征态”。（3）概率密度：22|)(||),(|xtxnn3.波长22nnnhnpmEaa2nnhapn由能量、动量关系和德布罗意关系，可得势阱中粒子的动量：德布罗意波具有驻波的形式（势阱边界为波节）无限深方势阱中粒子的每一个能量本征态，对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波。|2n|n很大时，势阱内粒子概率分布趋于均匀。量子经典|2n|En2a2a束缚态(boundstate)E1E2E3E4Ennan2,11,22an32,33an2,44an,nnan20x2a2a势阱内粒子概率分布与经典情况不同玻尔对应原理§2.3势垒穿透（barrierpenetration）粒子从x=-处以能量EU0入射)0()0(0)(0xUxxU，，势垒的物理模型：金属或半导体接触处势能隆起，形成势垒。xⅡ区0Ⅰ区EU0U(x)给定势函数(一维势垒)反射入射透射？12I区：)(d)(d212122xExxm02dd12212mEx221112d0dkx122mEk令II区：220222dd2EUxm02dd202222）（UEmx0222()mEUik令222222d()0dikx一.粒子进入势垒xEUmCe)(210xikxikBeAex21)(1xkCex2)(2入射波反射波透射通解：xikxikBeAex11)(1xkxkDeCex22)(2EU02透射1入射+反射xⅡ区Ⅰ区0——波动的形式——指数增加和衰减当x时，2(x)应有限，得D=0在II区粒子出现的概率0概率密度（II区）)(2220)(EUmxexU0、x透入的概率例如，电子可逸出金属表面，在金属表面形成一层电子气。经典：粒子不能进入EU的区域（动能0）。量子：粒子可透入势垒。二.有限宽势垒和隧道效应隧道效应E120aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区)(220)(EUmaeCa3波穿过后，将以平面波3(x)的形式继续前进，振幅为2(a)。这称为势垒穿透或隧道效应。22332()()2dxExmdx13()ikxxTe000,()0xxaUxUxa1.穿透系数02222()32222122|()||()|exp(2)|(0)||(0)|exp(20)amUEaaCkaPeCkaP0UEP（）当U0-E=5eV，势垒宽度a～50nm以上时，穿透系数会小6个数量级以上。此时隧道效应实际上已没有意义，量子概念过渡到了经典。经典物理：量子物理：mpE22mppmppEΔ2Δ2Δx=a很小时，P很大，使E也很大，2.怎样理解粒子通过势垒区?粒子能量就有不确定量EE+EU0以至可以有：只要势垒区宽度x=a不是无限大，由于不确定关系从能量守恒的角度