《复变函数与积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社课件 第五章

一、解析函数的罗朗展式1、设幂级数显然其收敛域为zar23123bbb的收敛圆域为，现令1r1za则幂级数变为31223bbbzazaza一般记为123123czaczacza收敛域为zar若有另一幂级数123123czaczacza2012cczacza的收敛圆域为，当时，zaRrR1101nnnczaczaccza称为双边幂级数，其收敛域为圆环rzaRnnnfzcza其中内解析，则可在点a展成双边幂级数fz112nnCfzcdziza罗朗展式(罗朗级数)定理若在fz0rzaRrR在求某解析函数的罗朗展式时，一般使用间接法：即利用已知函数的泰勒展式去求。在求的过程中要注意收敛域的变化。例：求在z=0处的罗朗展式，指定收敛域为：112fzzz解11;212;32zzz1111212zzzz111111121212zzzz00122nnnnzz10112nnnz收敛域分别为：解212z1111111122112zzzzz0011122nnnnzzz1211zz1102nnnnnzz收敛域分别为：解32z111111121211zzzzzz001112nnnnzzzz2113212zzz1221nnnznnnfzcza内解析，则可在点a展成双边幂级数fz罗朗展式(罗朗级数)定理若在fz0rzaRrR开成罗朗级数。当时，收敛域为，0r0zaR也就是说在的孤立奇点a处也能展fz例：求在其奇点z=0和z=1处的罗朗展式。11zz解11111111zzzzzz01nnzz1nnz01z1111111111zzzzzz01111nnnzz011z1、求在z=0处的罗朗展式。1ze2、求在z=0处的罗朗展式。sinzz练习1、100111!!nnznneznzn2、201sin21!nnnzzzn答案0z0z练习求在其奇点z=0处的罗朗展式，指定收敛域为。11zz1z答案1111111111zzzzzzz0111nnzzz2nnz1z二、孤立奇点1、孤立奇点与非孤立奇点的定义fz对于的某奇点，若不存在其它奇点无限接近与此奇点，则称它为孤立奇点；否则称为非孤立奇点。如11cos1fzz的奇点有：11,12zzn显然1112nnz=1非孤立奇点收敛域为展开成罗朗级数，0zaR只有在的孤立奇点a处才能将fzfz展开成罗朗级数。而在的非孤立奇点处不能将fzfz如11cos1fzz在z=1处没有罗朗展式。三、孤立奇点的类型1、可去奇点fz对于的某奇点a，a称为可去奇点当且仅当存在。limzafz如等2sin1cos1,,zzezzzz的奇点z=0均为可去奇点。2、极点fz对于的某奇点a，a称为极点当且仅当。limzafz如等211cos,,11sin1zezzzzz的奇点z=1均为极点。极点的级fz对于的某极点a，a称为m级极点当且仅当以a为m级零点。1fz211,11zezzz的一级极点；如z=1均为212ziz中z=-2为一级极点；z=i为二级极点。3、本性奇点fz对于的某奇点a，a称为本性奇点当且仅当不存在。limzafz如等11,sinzez的奇点z=0均为本性奇点。例求出函数奇点的类型。22111,2,14zzzeezz32113,4coszizi答案(1)为一级极点；为二级极点。0z2zi(2)为一级极点。21zki(3)为三级极点。212zi(4)本性奇点。zi