《复变函数与积分变换》作业答案

《复变函数与积分变换》作业参考答案习题1：4、计算下列各式(1)3i(3i)(1+3i)；(3)23(3i)；(5)13i2z，求2z，3z，4z；(7)61。解：(1)3i(3i)(1+3i)=3i(3+3ii+3)=3i(2i+23)=6+63i；(3)2333(223i)3(223i)333i41288(3i)223i(223i)(223i)；(5)213i3i3223i13i4422z，3213i13i131224zzz，4313i22zzz．(7)因为1cosisin，所以6221cosisin66kk，即0k时，031cosisini6622w；1k时，133cosisini66w；2k时，25531cosisini6622w；3k时，37731cosisini6622w；4k时，499cosisini66w；5k时，5111131cosisini6622w．习题2：3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数．(2)2()ifzxy；(4)()sinchicosshfzxyxy(6)()azbfzczd。解：(2)因为2(,)uxyx，(,)vxyy，2xux，0yu，0xv，1yv．这四个一阶偏导数都连续，故(,)uxy和(,)vxy处处可微，但柯西-黎曼方程仅在12x上成立，所以()fz只在直线12x上可导，此时1122()21xxfzx，但复平面上处处不解析．(4)因为(,)sinchuxyxy，(,)cosshvxyxy，coschxuxy，sinshyuxy，sinshxvxy，coschyvxy．这四个一阶偏导数都连续，故(,)uxy和(,)vxy处处可微，且满足柯西-黎曼方程，所以()fz在复平面内解析，并且iiiiiziz()icoschisinshcosisin22cosisincosisin2222cos22yyyyxxyyyyxxyxyxeeeefzuvxyxyxxeeeexxxxeeeeeez．(6)0020()()1()limlim()lim()()()zzzfzzfzazzbazbzzczzdczdadbcadbcczczdczdczd所以，()fz在除dzc外处处解析，且2()()adbcfzczd．4、指出下列函数的奇点．(1)221(4)zzz；(2)222(1)(1)zzz．解：(1)22343242242232322(4)(1)(48)3448()(4)(4)3448(4)zzzzzzzzzfzzzzzzzzzz所以，()fz的奇点为0，2i．(2)22232422322(1)(1)2(2)(1)(21)3953()(1)(1)(1)(1)zzzzzzzzzfzzzzz所以，()fz的奇点为1，i．10、如果()ifzuv在区域D内解析，并且满足下列条件之一，试证()fz在D内是一常数．(2)()fz在D内解析；证明：由()ifzuv在区域D内解析，知(,)uxy、(,)vxy在区域D内可微，且xyuv，yxuv．同理，由()fz在D内解析，知xyuv，yxuv．从而我们得到0xyyxuvuv，所以(,)uxy、(,)vxy皆为常数，故()fz在D内是一常数．15、求解下列方程：(2)10ze解：1ze，于是Ln(1)ln1iarg(1)2i=(21)i,zkkkZ18、求Ln(i)，Ln(34i)的值及主值．解：Ln(i)lniiarg(i)2ii2i2kk，所以其主值为i2；4Ln(34i)ln34iiarg(34i)2iln5i(arctan)2i3kk，所以其主值为4ln5i(arctan)3．19、求1i2e，1i4e，i3，i(1i)的值．解：1ii()22cos()isin()i22eeeee；1i11i444444222cosisini1i44222eeeeee；iiLn3i(ln32i)2+iln323cosln3isinln3kkkeeee；11iln2i2i2iln22iiln(1i)444ln2ln2(1i)cosisin22kkkeeee．20、求21，2(2)，i1，ii，1i(34i)的值．解：22Ln122i1cos(22)isin(22)keekk；22Ln(2)2ln2(21)2i2(2)2cos(21)2isin(21)2keekk；iiLn1i(2i)21kkeee；1ii2i2iiLni22ikkeee；444(1i)ln5arctani2iln5arctan2iln5arctan231i(1i)Ln(34i)332(34i)45cosln5isinln5,arctan,3kkkkeeeekZ22、解方程：(1)ch0z；解：1Arch0Ln(001)Lni2i2zk，kZ．习题3：1、沿下列路径计算积分2i20zdz：(1)从原点至2i的直线段；(2)从原点沿实轴至2，再由2铅直向上至2i；(3)从原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至2i．解：(1)从原点至2i的直线段的复参数方程为i2xzx，1(1i)2dzdx，参数:02x，所以22i22323330001111(1i)(1i)(2i)2323zdzxdxx(2)从原点沿实轴至2的直线段的复参数方程为zx，参数:02x，由2铅直向上至2i的直线段的复参数方程为2izy，参数:01y，所以122i21222220002132300(2i)i18i2111(i44i)24i=i(2i)333333CCzdzzdzzdzxdxydyxyydy(3)从原点沿虚轴至i的直线段的复参数方程为izy，参数:01y，由i沿水平方向向右至2i的复参数方程为izx，参数:02x，所以122i122222200012223300(i)i(i)i1i1i(i)(2i)(2i)3333CCzdzzdzzdzydyxdxydyxdx2、分别沿yx与2yx算出积分1i20(i)xydz的值．解：yx的复参数方程为(1i)zx，(1i)dzdx，参数:01x所以1i1220051(i)(i)(1i)i66xydzxxdx；2yx的复参数方程为2izxx，(12i)dzxdx，参数:01x所以1i12220051(i)(i)(12i)i66xydzxxxdx5、计算积分Czdzz的值，其中C为正向圆周：(1)3z解：设1C是C内以被积函数的奇点0z为圆心的正向圆周，那么111132i=6iCCCCzzzzdzdzdzzdzzzzzz6、试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？C是正向圆周1z：(1)2Cdzz；(2)223Cdzzz；(3)cosCdzz；(4)13Cdzz；(5)zCzedz；(6)i522Cdzzz．解：(1)02Cdzz，根据柯西积分定理；(2)2023Cdzzz，根据柯西积分定理；(3)0cosCdzz，根据柯西积分定理；(4)2i13Cdzz，根据复合闭路定理；(5)0zCzedz，根据柯西积分定理；(6)4ii55i22Cdzzz，根据柯西积分定理及复合闭路定理．7、沿指定曲线的正向计算下列积分：(1)3zCedzz，:31Cz；(2)22Cdzza，:Czaa；(3)i21zCedzz，4:2i3Cz；(4)3Czdzz，:2Cz；(5)23(1)(1)Cdzzz，:1Czr；(6)3cosCzzdz，C为包围0z的闭曲线；(7)22(1)(4)Cdzzz，3:2Cz；(8)sinCzdzz，:3Cz；(9)2cos2Czdzz，:3Cz；(10)5zCedzz，:1Cz．解：(1)332i2i3zzzCedzeez；(2)2212iiCzadzzazaa；(3)ii2i2i1izzCzeedzzze；(4)03Czdzz；(5)230(1)(1)Cdzzz；(6)3cos0Czzdz；(7)222222ii1(1)(4)2i(i)(4)(i)(4)11102i44CCCzzdzdzdzzzzzzzzz；(8)0sin2isin0zCzdzzz；(9)22cos2sin21!2Czzidzziz；(10)502(51)!12zzCzeiidzez．21、证明：22uxy和22yvxy都是调和函数，但是iuv不是解析函数．证明：因为2uxx，222ux，2uyy，222uy，2222()vxyxxy，223222362()vxyyxxy，22222()vxyyxy，232222326()vyxyyxy，所以22220uuxy，22220vvxy，且xyuv，yxuv．即22uxy和22yvxy都是调和函数，但是iuv不是解析函数．22、由下列各已知调和函数求解析函数()ifzuv，并写出z的表达式：(1)22()(4)uxyxxyy；(2)22yvxy，(2)0f；(3)2(1)uxy，(2)if．解：(1)因为()ifzuv是调和函数，所以22363vuxxyyxy，22363vuxxyyyx．于是22223(363)()33vxxyydygxxyxyy．那么222()63363vgxxyyxxyyx，则3()gxxC，所以322333vxxyxyyC，3223322332233()(33)i(33)i(1i)3(i)3(i)(i)i(1i)ifzxxyxyyxxyxyyCxxyxyyCzC(2)2222()vxyxxy，22222()vxyyxy．因为()ifzuv是调和函数，所以222222222222222(