大学物理 第二十七章 量子力学初步

第二十七章量子力学初步本章内容Contentschapter2727.3薛定谔方程Schrodingerequation27.5一维势垒隧道效应one-dimensionalpotentialbarriertunneleffect27.2不确定关系uncertaintyrelation27.4一维无限深势阱one-dimensionalinfinitedeeppotentialwellwavefunctionanditsstatisticalexplanation27.1波函数及其统计解释第一节wavefunctionanditsstatisticalexplanation27.1波函数回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设速度为质量为的自由粒子，一方面可用能量和动量来描述它的粒子性；另一方面可用频率和波长来描述它的波动性。自由粒子波函数在量子力学中用复数表达式：应用欧拉公式取实部应用德布罗意公式即即即的自由粒子的波函数为沿x方向匀速直线运动在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间的二元函数一列沿x轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程沿方向匀速直线运动的自由粒子的波函数为续上自由粒子的波函数自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布罗意波是平面波。不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同。以上只是自由粒子的波函数，不是任何情况都适用，大多数情况下粒子不是自由粒子！早期观点：物质波是由它所描写的粒子组成。如何理解波和它所描写的粒子之间的关系？实验：粒子流有干涉和衍射现象。干涉和衍射现象是粒子流中粒子相互作用的结果。是否是这样的呢？波和粒子的关系单位时间接收到的电子数目电子束探测屏28个电子入射后1000个电子入射后10000个电子入射后长时间累积电子双缝衍射实验如果直接用电子束射到双缝上，立刻就有条纹出现。电子双缝衍射如果减弱入射电子流，使得电子一个一个的慢慢放出。结论：干涉和衍射条纹和入射电子流强弱无关，即和粒子之间的相互作用无关。波函数的统计解释从波动性的角度，光强和电矢量平方成比例。2EI从粒子性的角度，光强和单位体积内的光子数成比例。dVNI从统计概率的角度，如果单位体积内光子数目很多，在该体积元内找到光子的几率密度P/dV就大，或者说光子在该体积内出现的几率密度P/dV就大dVNdVP2EdVP自由粒子波函数空间中某处波的强度和在该处找到相应的粒子的几率密度成比例。2dVP空间中某处找到粒子的几率和该粒子的波函数的模的平方成比例。波函数的统计解释令入射光极弱，光子数目极少，光子将会在屏上出现的确切位置无法预测。双缝干涉实验摄影底板或显微观察延长曝光时间，可发现在光波干涉理论算得的各明纹区域，光子出现的概率最大；各暗纹区域，光子出现的概率最小。继续延长曝光时间，可得到明暗连续变化的双缝干涉清晰图像，并与强光入射（大量光子同时入射）一次曝光的情况等效。光的双缝干涉在某个位置找到光子的几率和光强有关概率密度设描述粒子运动状态的波函数为，则空间某处波的强度与在该处发现粒子的概率成正比；在该处单位体积内发现粒子的概率（概率密度）与的模的平方成正比。是的共轭复数德布罗意波又称概率波波函数又称概率幅取比例系数为1，即1926年提出了对波函数的统计解释玻恩的理论波函数归一化因概率密度故在矢端的体积元内发现粒子的概率为在波函数存在的全部空间V中必能找到粒子，即在全部空间V中粒子出现的概率为1。此条件称为波函数的归一化条件满足归一化条件的波函数称为归一化波函数波函数标准条件波函数的三个标准条件：连续因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续；单值因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的；有限因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得到体系所有的性质。量子力学的第一条基本假设注意：波函数一般来说是复函数。概率波与经典波概率波（德布罗意波）不同于经典波（如机械波、电磁波）概率波经典波波函数是实的，可测量波函数是复的，不可测量波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，不影响粒子的概率密度分布，即和C所描述德布罗意波的状态相同。因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，则各处的能流密度增大C倍，变为另一种能流密度分布状态。波函数存在归一化问题。波动方程无归一化问题。算例某粒子的波函数为归一化波函数概率密度概率密度最大的位置令求极大值的x坐标解得另外两个解处题设处最大概率密度积分得：令求则归一化波函数：第二节测量学的极限测量的极限测量工具测量精度毫米尺10-3m游标卡尺10-4~10-5m螺旋测微器10-5~10-6m干涉仪10-8~10-9m到底是否只要技术成熟就可以无限的提高测量精度？经典理论认为只要能够提高测量仪器精度，总可以使得测量误差减小。测量学的极限量子力学认为无论仪器精度多高，对测量本身来说都存在一个客观的内在限制，这个限制是和仪器本身精度无关的。测量黑暗房间里面一个运动的乒乓球的位置限制的来源：1.波粒二象性。2.测量仪器和被测系统的相互作用。显微镜观察电子d22.1用显微镜观察电子光源光源最小分辨角光子动量hp使用短波长测量电子位置精确，但是短波长的光子动量大，和电子碰撞的时候会严重改变电子动量。使用长波长测量，对电子动量影响小，但是对电子位置测量不够精确。。测量过程中光被电子衍射或者散射才能看到电子。不确定关系2xpx三维式归纳不确定关系是波粒二象性的结果，是微观系统之间相互作用的结果。2xpx2ypy2zpz2/不确定中的确定如果精确测量了某个粒子在某个时刻的坐标，根据不确定原理，由于该粒子的动量完全不能确定，所以将永远不能知道该粒子未来的位置。让电子打到屏上虽然可以同时确定电子的位置和动量，但是电子已经和屏相互作用了，相当于原来的那个电子被破坏了。因此，同时精确测量位置和动量可能导致系统被破坏，从而使得测量失去意义。1.单独测量一个物理量是可以非常精确的。2.同时精确测量某一方向上的坐标和与该方向垂直方向上的动量是允许的。例如：可以同时精确测量Δx和Δpy，一般来说。0xpx能量的不确定归纳能量的不确定原理2tE微观系统处于某状态的能量不确定度和处于该状态的时间必须满足因此，某个极短的时间内，系统的能量是不确定的，甚至可以是不守恒的，这就是能量的涨落。但是对于长时间的平均，相对涨落的平均值等于0，能量仍然是守恒的。测量学的终极限制归纳测量学的终极限制任何物理量的测量，无论仪器多么精确都会海森堡不确定关系的限制，通常把这个极限称为标准量子极限（StandardQuantumLimit），这是任何实验测量精度的终极限制。目前量子测量学研究的主题就是如何接近，甚至设法突破标准量子极限。不确定原理的本质不确定原理的本质不确定原理本质上是波粒二象性的表现。如果仅把物质看成粒子，才会具有动量和位置，才会有动量和位置的不确定。如果把物质看成波就没有动量和位置的概念。所以单纯只看一个方面的特性都是有局限性的。由于普朗克常数比较小，所以通常宏观情况下不确定原理影响很小，但是在原子分子内部，不确定原理会非常重要。例例例随堂小议（1）粒子的坐标是不能精确确定的（2）粒子的动量是不能精确测定的（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的（4）以上结论都不对不确定关系说明结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案链接1（1）粒子的坐标是不能精确确定的（2）粒子的动量是不能精确测定的（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的（4）以上结论都不对不确定关系说明结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案链接2（1）粒子的坐标是不能精确确定的（2）粒子的动量是不能精确测定的（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的（4）以上结论都不对不确定关系说明结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案链接3（1）粒子的坐标是不能精确确定的（2）粒子的动量是不能精确测定的（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的（4）以上结论都不对不确定关系说明结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案链接4（1）粒子的坐标是不能精确确定的（2）粒子的动量是不能精确测定的（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的（4）以上结论都不对不确定关系说明结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案第三节Schrodingerequation27.3引言薛定谔方程引言经典力学牛顿力学方程根据初始条件可求出经典质点的运动状态经典质点有运动轨道概念不考虑物质的波粒二象性量子力学针对物质的波粒二象性微观粒子无运动轨道概念运动状态波函数量子力学方程是否存在一个根据某种条件可求出微观粒子的算符基本算符量子力学中的算符是表示对某一函数进行某种数学运算的符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。算符劈形算符数学运算符号拉普拉斯算符动量算符动能算符哈密顿算符含动、势能位矢算符力学量算符统称举例若作用在某函数上的效果和与某一常量的乘积相当，即则称为的本征值称为的本征函数所描述的状态称为本征态力学量的可能值是它的本征值力学量的平均值由下述积分求出薛定谔方程1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程当其运动速度远小于光速时它的波函数所满足的方程为质量为的粒子在势能函数为的势场中运动它反映微观粒子运动状态随时间变化的力学规律，又称含时薛定谔方程。式中，为哈密顿算符，获1933年诺贝尔物理学奖定态薛定谔方程将常量归入中，得故可分离变量，写成解释：若则积分解得定态波函数此外，对得定态薛定谔方程常量时间的函数空间的函数由对应一个可能态有一常量定态薛定谔方程势场只是空间函数即若粒子所在的有一个能量定值含时薛定谔方程定态波函数对应于一个可能态，则续上所谓“定态”，就是波函数具有形式其概率密度与时间无关所描述的状态。它的重要特点是：定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。若已知势能函数，应用定态薛定谔方程可求解出，并得到定态波函数定态波函数中的称为振幅函数（有时直称为波函数。）的函数形式也应满足统计的条件连续、单值、有限的标准条件；归一化条件；对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。态跌加原理这表明：体系两个可能状态的叠加仍为体系的一个可能态。称为态叠加原理求偏导数并乘以为薛定谔方程的两个解，分别代表体系的两个可能状态。设为它们的线性叠加即为复常数将上式两边对时间因都满足薛定谔方程即第四节27.4one-dimensionalinfinitedeeppotentialwell一维无限深势阱粒子在某力场中运动，若力场的势函数U具有下述形式该势能函数称作一维无限深势阱。应用定态薛定谔方程可求出运动粒微观系统中，有关概率密度、能量这是一个理想化的物理模型，子的波函数，有助于进一步理解在量子化等概念。续上求解阱内阱外只有因及要连续、有限，薛定谔方程才成立，在阱外故粒子在无限深势阱外出现的概率为零。设质量为的微观粒子，处在一维无限深势阱中，该势阱的势能函数为阱外阱内建立定态薛定谔方程一维问题续上求解求定态薛定谔方程的通解阱内即令得此微分方程的通解为其三角函数表达形式为式中和为待定常数根据标准条件确定常数和并求能量的可能取值以及在边界和处又因得的取值应与阱外连续，边界处的故得及时阱内不合理舍去的负值和正值概率密度相同。同一取得续求解求归一化定态波函数由上述结果阱外阱内及得应满足归一化条件得积分归一化定态波函数概率密度势阱问题小结一维无限深势阱中的微观粒子（小结）能量量子化极不明显，可视为经典连续。间距太小在微观粒子可能取如，电子9.1×10–31kg处在宽度10-10m(原子线度)的