第3节--克莱默法则

第四章线性方程组§1消元法、线性方程组解的判定与解的性质§2线性方程组解的结构§3克拉默法则第三节克拉默(Cramer)法则一、引言二、克拉默法则三、相关定理结论四、线性方程组的应用一.引言.,22221211212111bxaxabxaxa对方程组当时，有唯一解111221220aaDaa1212,DDxxDD其中11211112222122,.baabDDbaab在三元一次线性方程组求解时有类似结果即有方程组111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb当时，有唯一解1112132122233132330aaaDaaaaaa312123,,DDDxxxDDD其中1121312222333233,baaDbaabaa1111322122331333,abaDabaaba1112132122231323.aabDaabaab自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组——如n元一次线性方程组11112211211222221122,,(1).nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb它的解是否也有类似的结论呢？二、克拉默法则(Cramer,瑞士，1704~1752)定理1如果线性方程组（1）的系数矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa的行列式，则方程组(１)有唯一解||0DA1212,,,nnDDDxxxDDD（2）||0DA其中是把行列式中第列(1,2,,)jDjnDj所得的一个n级行列式，即的元素用方程组（1）的常数项代换12,,,nbbb111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnnjnnjnnaabaaaabaaDaabaa1122jjnnjbAbAbA1.nssjsbA(1,2,,)ijjAjnD其中是的代数余子式.把方程组（1）写成矩阵方程.Axb1,xAb证明：这里，为阶矩阵，()ijnnAan因0,AD故存在.1A令1,AxAAbb有表明是方程组（1）的解向量.1xAb(先证解的存在性)由,Axb1,xAb有11(),AAxAb根据逆矩阵的唯一性知，是方程组（1）的唯一的解向量.1xAb(再证解的唯一性)即由逆矩阵公式1*1,AAA1**11,xAbAbAbAD有11211112122222121nnnnnnnnAAAxbxAAAbDxbAAA(最后证解的公式)即证毕.亦即1112211112222211221nnnnnnnnnbAbAbAbAbAbADbAbAbA112211()jjjnnjjxbAbAbADDD(1,2,,)jn注解1：克拉默(Cramer)法则中包含着两个前提和三个结论：前提：（1）线性方程组（1）中方程的个数等于未知量的个数；（2）线性方程组（1）的系数矩阵的行列式不等于零.结论：（1）线性方程组（1）有解；（2）线性方程组（1）的解是唯一的；（3）线性方程组（1）的解由公式（2）给出.例1用克拉默法则解方程组.0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：6741212060311512D212rr24rr127702120603113570方程组的系数行列式12772121357212cc232cc2770103532733,2767402125603915181D,8167012150609115822D,10860412520693118123D,2707415120903185124D,27,3278111DDx,42710822DDx,1272733DDx.1272744DDx程的个数与未知量的个数不等时,就不能用克拉通过上述例子,我们看到用克拉默法则求解线性方程组时,要计算n+1个n阶行列式,这个计算量是相当大的,所以,在具体求解线性方程组时,很少用克拉默法则.另外,当方程组中方默法则求解.注解2：但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的重要地位.克拉默法则不仅给出了方程组有唯一解的条件,并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系.注解3：撇开求解公式，可得下面的定理定理2如果线性方程组（1）有解，则（1）有唯一解的充要条件是系数行列式0.A（2）有无限多个解的充要条件是系数行列式0.A三.相关定理结论例2判断下列线性方程组解的情况：123123123231,4254,240.xxxxxxxxx解：213425214A213425214A方程组的系数矩阵为0其行列式为所以线性方程组有无限多个解.错解正解：213142542120B对方程组的增广矩阵B作初等行变换31212213100120011rrrr3212131012001rrB由知，原方程组无解。1B注解4：定理2的重要前提是线性方程组（1）有解.111122121122221122000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（3）对于齐次线性方程组（2）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解．120nxxx一定是它的解，称之为零解．定理3齐次线性方程组（3）必有解，且（1）只有零解的充要条件是系数行列式0.A（2）有非零解的充要条件是系数行列式0.A．例3：问λ取何值时，齐次线性方程组有非零解?121200xxxx解:21101若方程组有非零解，则∴当时，方程组有非零解．1．例4：问λ取何值时，齐次线性方程组有非零解?(5)2202(6)02(4)0xyzxyxz解:522260204若方程组有非零解，则∴当时，方程组有非零解．2,5,8?(5)(2)(8)0四、线性方程组的应用1）向量组12(,,,),Tiiimiaaa1,2,,in线性无关的充要条件是齐次线性方程组（4）111122121122221122000nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax只有零解；向量组12(,,,),1,2,,,Tiiimiaaain线性相关的充要条件是齐次线性方程组(4)有非零解.——判别向量组的线性相关性对于n个n维向量12(,,,),,1,2,,Tiiiniaaain1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa行列式1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa行列式线性无关.12,,,n线性相关；12,,,n2）特殊情形例5判断下列向量组的线性相关性.解：123122241,,121363设1122330,xxx即有齐次方程组123123123123220,240,20,3630.xxxxxxxxxxxx（5）122241121363A()2RA因此，齐次方程组的系数矩阵为120001000000初等行变换并对其进行初等行变换，可得从而齐次方程组（5）有非零解.故线性相关.123,,例6设向量组线性无关，证明123,,向量组也线性无关.122331,,设112223331()()()0,kkk证：即131122233()()()0kkkkkk由于123,,线性无关，于是有131223000kkkkkk所以，齐次线性方程组只有零解：1230.kkk所以也线性无关.122331,,而系数矩阵的行列式为10111020,0111：设曲线通过四点2012yaaxax(1,1),(2,0),(3,1),求系数012,,.aaa练习0124,4,1.aaa答案：2.设有方程组12312312310,13,1,xxxxxxxxx问λ取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解.解法一:对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵B11101113111B1311111131110rr2131111103021rrrr321110300313rr（1）当λ≠0且λ≠－3时，R(A)=R(B)=3，方程组有唯一解；(2)当λ=0时111011131110B11100001,0000知R(A)=1,R(B)=2,故方程组无解.2110B1213112310110112,0000（3）当λ=－3时知R(A)=R(B)=2，方程组有无限多个解，且通解为13233331,2,()=.xxxxxxx解法二:因系数矩阵A为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式|A|≠0.而111111111A1312311311311cccc2131(1)(1)3110000rrrr23,因此，当λ≠0且λ≠－3时，方程组有唯一解.当λ=0时111011131110B11100001,00002110B1213112310110112,0000当λ=－3时知R(A)=1,R(B)=2,故方程组无解.知R(A)=R(B)=2，方程组有无限多个解，且通解为13233331,2,()=.xxxxxxx2.证明：向量组线性无关的充要条件是123,,向量组线性无关.122331,,思考题1.问：当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?答：不能,此时方程组的解为无解或有无限多个解.思考题解答122331123101(,,)=(,,)110011123(,,)A解：10111020,011AA可逆1123122331101(,,)=(,,)1100112.相关定理结论1.克拉默法则3.线性方程组理论的应用小结作业P147习题45.(1)2123