高等代数论文-个人-绝对直接可用

重庆三峡学院高等代数论文线性方程组解的判定与求解系（部）：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学（师范）学号：200906034243学生姓名：陈超指导教师：刘学飞（教授）2010年12月线性方程组解的判定与求解陈超(重庆三峡学院数学与计算机科学学院2009级数学与应用数学（师范2班）)摘要：线性方程组称为系数矩阵和增广矩阵。若nccncxcx.....,.........22,11代入所给方程各式均成立，则称（nccc,........2,1）为一个解。若nccc,........2,1不全为0，则称（nccc,........2,1）为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组.关键词：线性方程组;解的判定;求解;矩阵;初等变换;矩阵的秩引言线性方程组求解中，我们要掌握一般线性方程组及其通解的基本概念，同时理解矩阵的初等变换在解线性方程组的作用.判定线性方程组解的情况，要看线性方程组的表示形式和线性方程组有解的判定条件，这样才能对线性方程组的解的情况的判定及求解.1线性方程组的解法我们学习过用Gramer法则解形如nnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnn....................................................21212121222212111211的线性方程组，也讨论过齐次线组0.........................................0....0....221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa事实上,方程组nnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnn....................................................21212121222212111211（1）与之对应的齐次线性方程组0.........................................0....0....221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（2）都可以用矩阵形式表示为:AX=B(1)AX=0(2)A为n阶系数矩阵,X为未知数矩阵,B为常数矩阵非齐次线性方程组AX=B(1)当0A时，方程组（1）有唯一解；当0A而对应的替代行列式不全为0时，方程组（1）无解；当0A而对应的替代行列式全为0时，方程组（1）有无穷多个解；对于齐次线性方程组AX=0当0A时,方程组（2）有唯一零解；当0A时,方程组（2）有非零解；以上结论都是相对于n阶线性方程组来说的，而对于未知数个数与方程个数不同的线性方程组，我们有下列的讨论一般线性方程组及其解法线性方程组的一般形式：nnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnn....................................................21212121222212111211矩阵表示：AX=B其中nmnnnnnnalaallllalaaalaaA212222111211nxmxxX21mbmbbB21请注意它们的行数、列数对应的齐次线性方程组0.........................................0....0....221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaAX=0其中nmnnnnnnalaallllalaaalaaA212222111211nxmxxX21000mB下面通过例题，来学习一般线性方程组的解法，这种方法，常称为高斯消元法.实际就是用矩阵的初等变换法解线性方程组.2线性方程组有解的判定条件定理一n元其次方程组0nmA有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩nAR)(证必要性设方程组0Ax有非零解，设nAR)(，则在Ａ中应有一个ｎ阶非零子式nD从而nD所对应的ｎ个方程只有零解（根据克拉默定理），这与原方程组有非零解相矛盾，nAR)(不能成立。即rAR)(充分性nrAR)(则A的行列梯形矩阵只含ｒ个非零行，从而知其有ｎ－ｒ个自由未知量，任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为0，即可得方程组的一个非零解。定理2ｎ元非其次线性方程组bAnm有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩证必要性设方程组BAx有解设)()(BRAR，则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0＝１，则)()(BRAR充分性设)()(BRAR设nBRAR)()(则Ｂ的行阶梯形矩阵中含ｒ个非零行，把这ｒ行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,其余的rn个为未知量,并令rn个为未知量全为0，即可得到方程的一个解.例用消元法解线性方程组1553822732321321321xxxxxxxxx解将系数矩阵与常数列矩阵排在一起1551382127321称为线性方程组的增广矩阵A,记为:1551382127321/BAA高斯消元法解线性方程组,实际就是对增广矩阵作行初等变换.下面我们来一步步解这个方程组1553822732321321321xxxxxxxxx1551382127321/BAA6450645073210000645073210000645023705000056541052357015654523573231xxxx这时,未知数3x是可以任意取值的,称为自由未知数称5654523573231xxxx为线性方程组的一般解.在求出方程组的一般解后,要注明自由未知数.自由未知数的取法是不一唯的,但一个线性方程组的一般解所含的自由未知数的个数是唯一的。如果取kX3（k取任何常数）321xxx的一组确定的值kxkxkx321565452357这是原方程的一个解，由于k的任意性，可知方程有无数个解，我们把这个含有任意常数的解称为方程组的通解.故原方程组的通解为:kxkxkx321565452357同时将方程写成矩阵形式AX=B0545715457565452357321kkkkxxxX参考文献：1王萼芳，石生明.高等代数[M]，北京：高等教育出版社，第三版.2009.6105-1032乐茂华.高等代数[M]，南京：南京大学出版社，第一版.2002.83李炯生,查建国.线性代数[M]，北京：中国科学技术出版社19894邱森.高等代数[M]，武汉：武汉大学出版社2008.25张斯为.高等数学[M]，厦门：厦门大学出版社2009.8ThejudgementoflinearequationswithsolvingChenchao(mathematicsandcomputersciencecollegelevel2009inmathematicsandappliedmathematics(normalclass2))Abstract:Linearequationsarecalledcoefficientmatrixandaugmentedmatrix.Ifgenerationintovariousareestablishedtoequation,says（nccc,........2,1）forasolution.Ifnotallis0,thensay（nccc,........2,1）fornonzerosolution.Iftheconstantitemsare0,thencalledthehomogeneouslinearequations,italwayswithzerosolution(0,0,...,0).Twoequations,iftheyhavethesamenumberofunknownvariablesandsolutionsetisequal.Keyword:Linearequations;Thejudgementofthesolution;solving;Matrix;Elementarytransformation;Matrixrank