级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。关键词：级数；收敛；判别；发散一.级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛nu｝，形如nuuu21①称为无穷级数(常简称级数),用1nnu表示。无穷级数①的前n项之和，记为nnnnus1=nuuu21②称它为无穷级数的第n个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛ns｝收敛于s.则称无穷级数1nnu收敛，若级数的部分和发散则称级数nv发散。研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1若级数nu和nv都收敛，则对任意的常数c和d，级数)(nndvcu亦收敛，且)(nnducu=cnu+dnv定理2去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理3在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。定理4级数①收敛的充要条件是：任给＞0，总存在自然数N，使得当m＞N和任意的自然数p，都有pmmmuuu21＜以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。二正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{ns}有界，即存在某正整数M，对一切正整数n有ns＜M。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法1比较判别法设nu和nv是两个正项级数,如果存在某正数N，对一切n＞N都有nnvu，则（i）级数nv收敛，则级数nu也收敛；（ii）若级数nu发散，则级数nv也发散。例1.设12nna收敛，证明：2lnnnnna收敛（na0）.证明：因为012nna)ln1(2122nnan易知：22ln1nnn收敛（积分判别法），又22nna收敛，所以)ln121222nnann（收敛。由比较判别法知2lnnnnna收敛（na0）.例2.证明：级数)0(sin)1(1xnxn都是条件收敛的。证：不妨设x0,则xN0，当nxN时，0nx2,此时0sinnx,且{nxsin}为单调递减数列，且nxnsinlim=0。由莱布尼茨判别法知)0(sin)1(1xnxn收敛。而当nxN时，nxnsin)1(=nxsin0，nxnxnsinlim=1又1nnx发散，由比较判别法知1sinnnx也发散。所以0x，级数)0(sin)1(1xnxn都是条件收敛的。例3.证明级数)]!1!21!111([1nen收敛证：0na=)!1!21!111(ne!1nn=nb.nnnbb1lim=!1)!1()1(1limnnnnn=2)1(limnnn=0由比值判别法知nb收敛，再由比较判别法知na收敛，即有：级数)]!1!21!111([1nen收敛。根据比较原则，我们得到了两个更为实用的判别法，即柯西判别法和达朗贝尔判别法。2柯西判别法（根式判别法）设nu为正项级数，且存在某正整数0N及正常数l，（i）若对一切n＞0N，成立不等式nnul＜1，则级数nu收敛。（ii）若对一切n＞0N，成立不等式1nnu则级数nu发散。例1.判别级数nn22的敛散性。解：因为nnnulim2lim2nnn=121所以由根式判别法知级数nn22收敛。3达朗贝尔判别法（比值判别法）设nu为正项级数，且存在某正整数0N及常数q（0＜q＜1）.（i）若对一切n＞0N，成立不等式nnuu1q，则级数nu收敛。（ii）若对一切n＞0N，成立不等式11nnuu则级数nu发散。例1.判别级数nnnn!3的敛散性。解：因为nnnuu1lim!3)1()!1(3lim11nnnnnnnnn=nnn)11(3lim=e31所以由比式判别法知级数nnnn!3发散。4积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。设f为[1，+)上非负减函数，那么正项级数)(nf与反常积分dxxf1)(同时收敛或同时发散。例1.判别级数3)ln(ln)(ln1nqpnnn的敛散性。解：设f(x)=qpnnn)ln(ln)(ln1,则f(x)在[3，+上非负递减。若1p，这时有3)ln(ln)(lnqpxxxdx=3lnlnqudu=)1()1()3ln(ln1111qqqq当小q＞1时级数收敛；当小q1时级数发散；若1p,这时有3)ln(ln)(lnqpxxxdx=3lnln)1(qupuedu对任意的q，当01p时，取t1,有quptuueu)1(1lim=0即该积分收敛。当01p时，有quptuueu)1(1lim=即该积分发散。5拉贝判别法设nu为正项级数，且存在某正整数0N及常数r，（i）若对一切n＞0N，成立不等式ruunnn)1(1＞1，则级数nu收敛。（ii）若对一切n＞0N，成立不等式1)1(1nnuun则级数nu发散。例1.判别级数)()2)(1(!nxxxn（x0）的敛散性。解：因为)1(lim1nnnuun=nnlim[1-)1()2)(1()!1(nxxxn!)()2)(1(nnxxx]=xnxnxn1lim所以由拉贝判别法知，当小x＞1时级数收敛；当小x1时级数发散；6对数判别法对于正项级数nu，如果存在qnunnln)1ln(lim，则当q1时，级数nu收敛；当q1时，级数nu发散。例1判别级数2nna=2])1(ln[15nnn的敛散性。证明：nlimnanln)1ln(=nlimnnnln5ln])1([ln1=ln51因此有对数判别法可知级数2nna=2])1(ln[15nnn收敛。7双比值判别法对于正项级数nu，如果存在nnnuu2lim=112limnnnuu=，则当21时，级数nu收敛；当21时，级数nu发散。例1判别级数12lnnnn的敛散性。证明：因为nnnuu2lim=41ln)2()2ln(lim22nnnnn21由此知级数12lnnnn收敛。例2判别级数1!nnnenn的敛散性。证明：这里1nnaa，即nnenn!11)!1()1(nnenn有nlimnnaa2=nnnnnnenenn!)!2()2(lim22=nnnnnnnnnennennenen2222)2()2(22)2(lim=2221所以级数1!nnnenn发散。8高斯判别法设na是严格正项级数，并设1nnaa=+n+nnvln+)ln1(nn，则关于级数na的敛散性，有以下结论：（i）如果1，那么级数na收敛；如果1，那么级数na发散。（ii）如果=1，1，那么级数na收敛；如果=1，1，那么级数na发散。（iii）如果==1，1，那么级数na收敛；如果==1，1，那么级数na发散。例1Gauss超几何级数1+nnnnnn1)1()2)(1(!)1()1()1()1(nx的敛散性，其中均,,,为非负常数。解：因为1nnaa=1)1)(1()1)(11(1))(())(1(nnnnxnnnn又因为1)1(n=1-n+)1(2n，1)1(n=1-n+)1(2n，所以1nnaa=x1（1+n1+)1(2n）。根据高斯判别法可以判别：如果x1;或者x=1,,那么级数收敛。如果x1;或者x=1,,那么级数发散。参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）.下册[M].北京：高等教育出版社，2001.[2]李春江.级数收敛的判别方法[J].[3]邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程下册.北京：高等教育出版社，1999.6[4]杨钟玄.双比值判别法与对数判别法的比较[J].四川师范大学学报，2004，（1）：57-60.[5]刘芜健.一类特殊正项级数的敛散性判定技巧.南京邮电大学学报.