土木工程测量(岳建平)第5章-误差基本知识--2

第五章测量误差基本知识一、测量误差产生的原因1.误差的定义测量中真值与观测值之差。由于测量中真值不容易测定，一般将误差定义为：iiLXXiiLLE§5.1测量误差来源及其分类2.测量误差产生的原因1）人的原因：感观的识别能力、技术水平、工作态度。2）仪器的原因：仪器本身的精确程度、仪器结构本身的不完善等。3）外界环境的影响：温度变化使钢尺产生伸缩；大气折光使瞄准产生偏差等。3.观测条件、等精度与不等精度观测人、仪器及环境是测量工作进行的必要条件，把这三个条件综合起来，就称为观测条件。凡观测条件相同的同类观测称为等精度观测；观测条件不同的同类观测称为不等精度观测。问题：在相同观测条件下，得到一个三角形的内角和闭合差是，另一个三角形内角闭合差是。试问，它们是同精度观测吗？0105二、测量误差的分类及处理原则1、分类根据误差产生的原因及对观测结果影响的性质，可以分为：1）系统误差在相同的观测条件下，对某量进行了次观测，如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，称为系统误差。特点：①同一性：误差的绝对值保持恒定常数或按一定规律变化，即存在误差（常数）②积累性nf例：名义长度50m的钢尺，实际长度为50.005m；丈量的尺段越多，误差越大；处理原则：系统误差具有明显的规律性和累积性，可采用：1）及时的地检校仪器；2）严格求取改正值；3）合理的观测方法消除或减小到可忽略的程度。如上例，某距离正好测量了3尺段，则距离实测值为？理论值为多少？2）粗差：粗差是大于限差的误差，是由于观测者的粗心大意或受到干扰所产生的错误。•防止粗差产生的办法：工作时认真；观测者与记录者配合协调；加强各方面测量工作的校核（记录的检查与验算、规范的执行情况等）•粗差处理原则：一般通过多余观测发现粗差，对存在粗差的观测值予以重测（返工）至不含粗差为止。3）偶然误差在相同的观测条件下，对某量进行了次观测，如果误差出现的大小和符号均不确定，这类误差称为偶然误差（随机误差）。偶然误差不能消除，在测量上是用测量平差方法对偶然误差进行处理。偶然误差：根据偶然误差的统计规律性，在最小二乘准则下，对观测值间的不符值（由多余观测产生）进行调整，求解出未知量的最或然值（平差值）。n5.2偶然误差的基本特征就单个值而言，偶然误差在观测前不能预知其大小和符号。但随着观测次数的增多，偶然误差则表现出一定的统计规律性。举例：1）在相同的观测条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，分别作统计表及直方图如下：罐头食品好看又好吃，并且还是佐餐的佳品，但就是开起来太费劲儿，那么，通过什么方法能够有效快捷开启罐头瓶盖呢？小编推荐使用以下方法将会轻松开启罐头瓶。怎么开罐头瓶？轻松开启罐头瓶的技巧小窍门轻松开启罐头瓶的技巧小窍门1、轻松开启罐头瓶1：用热水烫瓶盖用热水烫瓶盖，因为罐头瓶盖一般都是铁制的，因此受热就会膨胀，这时趁热一拧，瓶盖就被轻松打开了。2、轻松开启罐头瓶2：用打火机烧烫瓶盖用打火机烧烫瓶盖：同样是利用“热胀冷缩”的原理，如果身边没有热水和盛热水的器具，有人就想到了用火机来加热瓶盖，点着的火机刚接近瓶子，瓶子就发出“嗞嗞”的响声。十几秒后，垫上毛巾拧开瓶盖。温馨提醒：用火烤瓶盖时容易烫到手，危险性较高。另外，拧时还要费事地垫上毛巾，也不方便。以上两种方法都需要您趁热及时拧动，瓶盖才能被打开。此外这两种方法不仅适用于水果罐头，而且适用于一切能够旋转拧开的铁盖罐头。例一：观测误差的分布特性(统计表)例一：观测误差的分布特性(直方图)由直方图理解偶然误差的分布曲线例二：在相同的观测条件下，独立地观测了另一测区421个三角形的全部内角，分别作统计表及直方图如下：例二：观测误差的分布特性(统计表)例二：观测误差的分布特性(直方图)三、偶然误差的特性：1.有界性：在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。2.密集性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。3.对称性：绝对值相等的正、负误差出现的机会相等。4.抵偿性：在相同观测条件下（等精度观测），偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增多而趋于零。偶然误差的数学性质1.概率密度函数呈正态分布：2.偶然误差的方差的理论值表达式222exp21fnnnnn2222212limlim...偶然误差的数学性质3.偶然误差标准差（中误差）的理论值表达式:4.偶然误差中误差的求法:nnnnlimlim2nnm2对应不同中误差的偶然误差分布曲线5.3衡量精度的标准及算术平均值5.3.1精度精度是指在一定的观测条件下，对某个量进行观测，其误差分布的密集或离散的程度。5.2.2中误差及其计算1.中误差的定义：在相同观测条件下，对同一未知量进行次观测，所得各个真误差平方和的平均值(方差)，再取平方根，称为中误差。用表示。nnmn22221...mn说明：相同观测条件下进行的一组观测，对应的是同一种误差分布，即一组观测数据中的每一个观测值都具有相同的精度。中误差不等于每个观测值的真误差，而是一组真误差的代表值，代表了一组测量结果中任一观测值的精度，通常把称为观测值中误差。m用真误差计算中误差(已知真值)则两组观测值中误差：36.37.221nmnm显然：1）第一组观测值精度高于第二组。2）中误差能突出反映大误差的影响。注意：1.中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观测量的大小无关。2.在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精度。如:分别丈量两段不同距离，一段为100m，一段为200m，中误差都是0.02m。此时是否能认为两段距离观测结果的精度相同？所以，必须引入相对误差的概念，目的是为了更客观地反映实际测量精度。5.3.3平均误差在测量工作中，有时为了计算方便，采用平均误差这个指标。平均误差就是在一组等精度观测中，各误差绝对值的平均数，其表达式为：n5.3.4相对误差相对误差的定义：中误差的绝对值与观测值之比，用分子为1的分数形式表示。分母越大，相对误差越小，精度越高。举例：中误差为0.02m，长度分别为100m、200m的相对误差表达式10000120002.05000110002.012211lmKlmKmllmK5.3.5极限误差和容许误差1.极限误差的定义：根据偶然误差的第一个特性，即在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，该限值称为极限误差，简称限差。2.极限误差的作用：限差是偶然误差限值，即当观测成果的误差超过限值时，则认为该观测成果不合格，故极限误差被当作观测成果取舍的标准。3.极限误差的确定理论和实验研究表明，大于两倍中误差的偶然误差出现的概率约为5%，大于三倍中误差的偶然误差出现的概率约为0.3%。测量上通常取三倍中误差作为极限误差：限=2m。也有取限=3m作为极限误差的。5.4误差传播定律一、概述：对于某一个量（例如一个角度或是一段距离）直接进行多次观测后，求的最或然是值，来计算观测值中误差，并以此作为衡量观测值精度（观测质量好坏）的标准。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便进行直接观测，而是根据一些直接观测量用一定的函数关系计算出来，未知量是观测值的函数。如三角形的内角和只能通过观测该三角形的各个内角，由关系式计算得到。定义：由于观测值中含有误差，使函数受其影响也含有误差，称为误差传播。180二、观测值的线性函数三、观测值的非线性函数1.非线性函数的一般表达式:式中，，…，为独立观测值，相应的中误差为、、…、。误差传播定律师反映观测值的中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律。nxxxfZ,...,,211x2xnx1m2mnm2.非线性函数的中误差的计算步骤是：1)非线性函数的线性化nndxxfdxxfdxxfdZ0202101)(...)()(iidxxf0)(表示函数对各个变量取偏导数，并以的近似值（观测值）代入计算所得至的数值，它们都是常数。),...,2,1(nixiZ全微分表达式的系数项是函数对各自变量的偏导数，并以变量的近似值（观测值）代入，其值为确定的常数。非线性函数线性化后，可运用误差传播定律的一般形式：22022202212012...nnZmxfmxfmxfm例题一：对某一个量进行了次等精度观测，设每次观测量的中误差为，求其算术平均值的中误差。解：第一步，列函数关系式mnnlllxn...21第二步，运用误差传播定律：22022202212012...nnZmxfmxfmxfm则：2222221221...11nxmnmnmnm即：1nnvvnmmx5.5等精度直接观测平差一、算术平均值---真值的最或然值在相同的观测条件下，对某个未知量进行了次观测，其观测值分别为，…。则以算术平均值（如下式）作为该量的最可靠数值。nlnlllxn...211l2lnln理由如下：在相同观测条件下对某未知量进行了一组等精度观测，设观测值分别为，，…，观测值的真值为，则观测值的真误差【在一定的环境条件下，对某个量观测所得到的结果（观测值）与其真值之间的不符值，称为真误差】为nnlXlXlX.................22111l2lnlX等式两边求和除以观测次数可得：nlXn当观测次数无限增大时，根据偶然误差抵偿性有:xnlXnnlX0x由上可以表明:当观测次数无限增多时，各个观测值的算术平均值趋于未知量的真值。当观测次数有限时，通常取算术平均值为最可靠值（最或是值），即以它作为观测量的最终结果。二、观测值的改正值算术平均值与观测值之差称为观测值的改正值。有如下结论：一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒等于零(推导过程见下页)。利用这一特性可作为计算中的校核条件。nnlxvlxvlxv...2211观测值改正数之和为零的推导将上式等号两边相加则:即有:lxnv0lllnlnv三、按观测值的改正值计算中误差公式形式：公式推导：(关键两式)1nvvmnxXxXn2][xXnvv(1)(2)nnlXlXlX...2211nnlxvlxvlxv...2211(1)式推导由:)(][)(...)()(2211xXnxXvxXvxXvnn则:(2)式推导由:)(...)()(2211xXvxXvxXvnn则:2)(xXnvv观测值中误差公式推导由:则:2)(xXnvv2][)()(][nxXxXn1nvvn于是:1nvvm5.5不等精度直接观测平差一、权的定义在测量实践中，除了等精度观测之外，还有不等精度观测。例如，有一个待定的水准点，需要从两个已知点经过两条不同长度的水准路线测定其高程，则从两条路线分别测得的高程是不等精度观测，那么就不能简单的取其平均值来评定精度。1.(观测值的)权的定义：对应观测值的中误差。：常数。说明：权也是衡量观测值精度的一个相对指标。2iimCPimC1）当时，对应观测值的中误差称为单位权中误差，一般用表示。定权公式可写为：即当时，2）由上，若已知单位权中误差，则：一般取一次观测、单位长度等的观测误差作为单位权中误差1iP0m220iimmP1iP0mmiPmmi102.应用举例设一次丈量的中误差为单位权中误差，求次等精度观测值中