习题

2-2某工厂生产一批金属工具箱，要求工具箱的体积为0.5m3，高度不低于0.8m，试写出耗费金属板面积为最小的优化设计数学模型。第二章优化设计解：设生产的金属工具箱的长度为，高度为，则该问题的数学模型为1x2x12120.50.5min()2()fXxxxx21..0.80stxx12[]TXxx例2-2现用薄钢板制造一体积为5，长度不小于4m的无上盖的立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、宽和高的尺寸。3m解：设货箱的长、宽、高分别为，货箱的表面积为S，则该问题的物理表达式为：123,,xxx1213232()minSxxxxxx2x3x(1)货箱的钢板耗费量（即货箱的表面积用料）最少：可见货箱的表面积取决于货箱的长度、宽度和高度。1x(2)满足的条件：按优化数学模型的规范形式，可归纳为如下数学模型：11:40:2920;0;4321xxx123[]TXxxx121323min()2()fXSxxxxxx11()40gXx设计变量：目标函数的极小化：约束条件：2233123()0()0()50gXxgXxhXxxx由等式约束条件可知，三个设计变量中只有两个是独立变量，即。所以，该问题的优化数学模型应写为：3125xxx11:40:29305)(0)(0)(04)(321332211xxxXhxXgxXgxXg11()40gXx22123()0()50gXxhXxxx约束条件：这样，使该优化问题的数学模型更为准确、精炼。11:40:29412[]TXxx设计变量：121323122111min()2()10()fXxxxxxxxxxx目标函数的极小化：解：设货箱的长、宽、高分别为，货箱的表面积为f（X），则该问题的数学模型为：12,xx5例4-2用黄金分割法求函数f(x)=3x3-4x+2的极小点，给定x0=0,h=1,ε=0.2解：(1)确定初始区间52)(,01101xffxx1)(,12202xffhxx由于，应加大步长继续向前探测，令21ff18)(,223303xffhxx由于，可知初始区间已经找到，即32ff]2,0[],[ba2.3.3黄金分割法参考下面例题以及书上的例题11:40:292020/2/76(2)用黄金分割法缩小区间6第一次缩小区间：282.0)(,764.0)02(382.00111xffx72.2)(,236.1)02(618.00222xffx由于，故新区间21ff]236.1,0[],[],[2xaba77第二次缩小区间：282.0,764.01212ffxx317.0,472.0)0236.1(382.0011fx由于，故新区间21ff]236.1,0[],[],[2xaba因为，所以应该继续缩小区间2.0746.0ab88第三次缩小区间得到：]944.0,472.0[],[ba不满足收敛条件，继续搜索；第四次缩小区间得到：]764.0,472.0[],[ba不满足收敛条件，继续搜索；2.3.3黄金分割法9(2)用黄金分割法缩小区间9第五次缩小区间：223.0,652.01212ffxx262.0,584.0)472.0746.0(382.0472.011fx由于，故新区间21ff]746.0,582.0[],[],[1bxba因为，所以得到了极小点和极小值。2.018.0ab222.0,674.0)746.0584.0(*5.0**fx2.3.3黄金分割法2.4.1梯度法（最速下降法）例：用梯度法求目标函数的最优解。取初始点迭代精度222125)(xxXf,22TX.005.0解：函数的梯度：2121502)(xxxfxfXf(0)(0)4(),()100.0799100fXfX计算点的梯度及其范数值：)0(X第一次迭代：以为起点沿方向进行一维搜索，)0(X)()0(Xf22)0()0()1002(25)42(min))((minXfXf10410016250016min2最优步长计算方法一，使用函数的性质计算02003072.0)0(0))(()0()0(XfXf2.4.1梯度法（最速下降法）11:40:292020/2/712最优步长计算方法二，使用黄金分割法计算10410016250016)(2g令用进退法求初始区间，首先假设31,1.0,01eh1602.6)(,1.0104)(,02212111gghgg则由于，所以向后探测。互换的值。21gg2121,,gg以及3605.8)(,1.0--3313ggh此时,,1041232gggg所以，初始为[-0.1,0.1]用黄金分割法求最小值，得到02.0)0(2.4.1梯度法（最速下降法）11:40:292020/2/713得到第一个迭代点：003072.0919877.1100402003072.022)()0()0()0()1(XfXX,153589.0839754.3)()1(Xf继续如下迭代计算：8428.3)()1(Xf2.4.1梯度法（最速下降法）11:40:292020/2/7142.4.1梯度法（最速下降法）终止迭代，得最优解：0000386.000241185.0)5(*XX000006.0)(*Xf2.4.1梯度法（最速下降法）例4.6用梯度法求目标函数的最优解。取初始点,11TX.1.0要求进行一步迭代，并判断是否收敛。122212132x)(minxxxxXf2.4.1梯度法（最速下降法）2.4.1梯度法（最速下降法）解：函数的梯度：11212223()4fxxxfXxxfx(0)(0)0(),()55fXfX计算点的梯度及其范数值：)0(X第一次迭代：以为起点沿方向进行一维搜索，)0(X)()0(Xf(0)(0)2min(())min1152(15)3fXfX2min50251最优步长计算方法一，使用函数的性质计算(0)0.250))(()0()0(XfXf2.4.1梯度法（最速下降法）11:40:292020/2/719得到第一个迭代点：(1)(0)(0)(0)101()0.25150.25XXfX(1)1.25(),0fX需继续进行第二次迭代(1)()1.25fX2.4.1梯度法（最速下降法）2-11试用阻尼牛顿法求目标函数的最优解2442010)(212221xxxxXfTX1,2)0(迭代精度为1.0解：第一次迭代梯度422020)(21xxXf海森矩阵20020)(XH5.00005.020002401)]([1XH36400)()0(Xf620)()0(Xf5.00005.0)]([1XH)0()0()0()0()0()1(31231126205.00005.0XX)24)13(4)2(20)13()2(10min()(min22)1(Xf1)0(213112)1(X0)()1(Xf00)()1(Xf21)1(*XX10)(*Xf1、迭代公式不正确，与牛顿法相混淆2、最优解两部分：2221212min()21,..()30fXxxxXRstgXx2-15分别用内点法和外点法求解下列约束优化问题一）用内点法求解构造内点法罚函数()()221212(,)213kkrXrxxxx对新目标函数求一阶导数，并令其为0，得()()221212(,)213kkrXrxxxx11()22222202(3)kxxrxxx求得：12()2212(3)kxxxr()0kr1213xx*()()((),)9kkXrr**1,()93XfX原目标函数的最优解为2221212min()21,..()30fXxxxXRstgXx2-15分别用内点法和外点法求解下列约束优化问题二）用外点法求解构造外点法罚函数221212()22()21212221,3(,)21(3),3kkxxxxXrxxxrxx对新目标函数求一阶导数，并令其为0，得221212()22()21212221,3(,)21(3),3kkxxxxXrxxxrxx对新目标函数求一阶导数，并令其为0，得11()22222022(3)kxxxrxx1()2213kxxrx271min(),..()10fxxxRstgxx解：根据内点法的基本思想，首先构造罚函数，()()()11(,)()()1kkkxrfxrxrgxx例4-b试用内点罚函数法求解如下优化问题：对求导并令其一阶导数为零，即()()()2(,)11101(1)kkkdxrdxrrdxdxxx()(,)kxr28可求得其无约束极值点：惩罚函数值为：*()()()((),)12kkkxrrr*1kkxrr当即得到了真正的约束最优解。即()*()*0()1,kkrxrx时,*()()*((),)()1kkxrrfx*()*()1,kxrx222123()222fXxxx2-9试用梯度法求解目标函数可靠性计算•已知某缠绕式提升机的钢丝绳受拉伸载荷，其承载能力及载荷均为正态分布，且承载能力的均值和标准差分别为907200N和136000N；载荷的均值和标准差分别为544300N和113400N；试确定钢丝绳的可靠度。若另一提升机的钢丝绳，由于严格质量管理，钢丝绳强度一致性有所提高，其承载能力的标准差降为90700N，其可靠度又如何？解：采用联接方程，则对第一种钢丝绳:查标准正态分布表，得所求可靠度为：R=0.9798=97.98%同理，对第二种钢丝绳有：查得相应可靠度：R=0.9938=99.38%2222907200544300-2.049136000113400sRsz2222907200544300-2.5090700113400sRsz可靠性计算•已知某缠绕式提升机的钢丝绳受拉伸载荷，其承载能力及载荷均为正态分布，且承载能力的均值和标准差分别为907200N和136000N；载荷的均值和标准差分别为544300N和113400N；试确定钢丝绳的可靠度。若另一提升机的钢丝绳，由于严格质量管理，钢丝绳强度一致性有所提高，其承载能力的标准差降为90700N，其可靠度又如何？解：采用联接方程，则对第一种钢丝绳:查标准正态分布表，得所求可靠度为：R=0.9798=97.98%同理，对第二种