通信原理课件第3章 随机信号

2020/2/71第三章随机过程3.1随机过程的基本概念随机信号：具有随机特性（某个参数或几个参数不能预知或不能完全预知）的信号。确定信号是随机信号的一种特定形式。随机信号种类：包含信息的信号、各种干扰（人为干扰、天电干扰）、噪声（热噪声、散弹噪声）随机信号和噪声分析方法：统计学随机过程理论。2020/2/723.1随机过程的基本概念简单地说，随机过程是一种取值随机变化的时间函数，它不能用确切的时间函数来表示。随机过程两层含意：“随机”（指取值不确定，仅有取某个值的可能性）；“过程”（为时间的函数）。随机过程是随时间变化的随机变量的集合，在任意时刻考察随机过程的值是一个随机变量。Xt{}xt随机过程是一个由全部可能的实现（或样本函数）构成的集合，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现哪一个实现是不确定的。用或表示。2020/2/733.1随机过程的基本概念典型随机过程---接收机噪声数学上可用随机实验和样本空间的概念定义随机过程：设进行某一随机实验E，是它的样本空间。如果对每一个样本来说，总可以按某一规则确定一个时间函数与之对应，那么，对所有的样本，就得到一簇时间函数，并称此簇时间函数为随机过程，其中每个时间函数称为该随机过程的样本函数。{}Se()eeS(,)Xet2020/2/743.1随机过程的基本概念典型随机过程---噪声2020/2/753.1随机过程的基本概念归纳起来，随机过程具有如下特性：（1）取值的随机性；（2）样本的确定性。举例：是一个随机变量（在t1时刻观察随机过程的值）1Xt随机过程的某一个样本函数为时间的确定函数。ixt为随机过程。0cos()XtAt其中，A为常数，为内均匀分布的随机变量。[0,2]2020/2/763.1随机过程的基本概念（1）取值的随机性t1=0时，（2）样本的确定性是一个随机变量;1cosXtA为时间的确定函数。10cosxtAt时，102020/2/773.1随机过程的基本概念随机过程包含有空间与时间双重概念。它一方面是各次实现的集合（并列的空间概念），另一方面又是时间的函数（时间的概念）。不过实践中，不可能得到空间上并列的各样本函数，而只能得到时间很长的一次实现。因此，可从实践中容易获得的一次实现来定义随机过程，如图所示。随机过程的实际定义：2020/2/783.1随机过程的基本概念图中信号是随机过程的一次实现，它是随机取值的时间函数，在已经过去的时间上取值已经确定，随机性消失；在未来的时间点上，取值随机，是一个随机变量。该随机变量取值的分布规律就是随机过程在该时间上的分布规律。2020/2/793.1随机过程的统计描述3.1.1随机过程的分布函数和概率密度函数3.1.2随机过程的数字特征2020/2/7103.1.1随机过程的分布函数和概率密度函数{}FxPx对随机变量的性质：Fx（1）为不减函数Fx（2）01Fxa.概率分布函数Fxb.概率密度函数fx()Fxfxdx2020/2/711（2）；正态随机变量标准正态随机变量3.1.1随机过程的分布函数和概率密度函数的性质：fx（1）为非负函数；fx1fxdx2121()()xxFxFxfxdx（3）时，；21xx（4）若在处连续，则。fxxdFxfxdx221exp22xafx21exp22xfx2020/2/7121.一维概率分布函数2.一维概率密度函数3.1.1随机过程的分布函数和概率密度函数对随机过程Xt时，为随机变量。1tt1Xt11111,{}FxtPXtx1111111,,Fxtfxtx如果存在，则称为随机的一维概率密度函数。111,fxt2020/2/713一维概率分布函数及一维概率密度函数描述了随机过程在固定时刻上的统计特性。解：（其中X为标准正态分布的随机变量）故有,随机过程的一维概率密度函数为：211110101111,expcos2cos2xfxttt3.1.1随机过程的分布函数和概率密度函数举例：求随机过程的一维概率密度函数。0cosXtXt时，为服从正态分布随机变量，其均值为零，方差为。1tt101cosXtXt201cost2020/2/714212121122,;,{;}FxxttPXtxXtx3.二维概率分布函数4.二维概率密度函数二维概率分布函数及二维概率密度函数描述了随机过程在任意两个时刻上的统计特性。3.1.1随机过程的分布函数和概率密度函数如果存在，则称为随机过程的二维概率密度函数。21212,;,fxxtt212122121212,;,,;,Fxxttfxxttxx2020/2/7155.n维概率分布函数6.n维概率密度函数3.1.1随机过程的分布函数和概率密度函数12121122,,,;,,,{,,,}nnnnnFxxxtttPXtxXtxXtx存在，则称为随机过程的n维概率密度函数。1212,,,;,,,nnnfxxxttt1212121212,,,;,,,,,,;,,,nnnnnnnFxxxtttfxxxtttxxx如果2020/2/716对随机变量a.均值（数学期望、一阶原点矩）b.方差（二阶原点矩）c.协方差（对随机变量X、Y）3.1.2随机过程的数字特征[]EXxfxdxa222[]()DXEXaxafxdx[,]XYCOVXYEXaYaXYxayafxfydxdy2020/2/717对随机过程3.1.2随机过程的数字特征1.随机过程的数学期望（均值）1111111[],EXtxfxtdxat1[],EXtxfxtdxat1tt时，为随机变量。1Xt上式中，t取任意值时，得到随机过程的数学期望。1,fxt为X(t)在t时刻的一维概率密度函数。数学期望X(t)在t时刻的随机变量的均值,它表示了随机过程在各个孤立时刻上的随机变量的概率分布中心，由一维概率密度函数所决定。2020/2/7183.1.2随机过程的数字特征2.随机过程的方差1tt时，为随机变量。1Xt上式中，t取任意值时，得到随机过程的方差。1,fxt为X(t)在t时刻的一维概率密度函数。方差表示了随机过程在各个孤立时刻上的随机变量对均值的偏离程度。由一维概率密度函数所决定。221111{[]}DXtEXtatt2221{[]},DXtEXtatxafxtdxt2020/2/7193.1.2随机过程的数字特征222tEXtEXt22tEXtJ进一步分析，0EXt当时，有（平均功率）随机过程的均值和方差的含义2020/2/7203.1.2随机过程的数字特征3.随机过程的自相关函数均值和方差，仅描述了随机过程在孤立时刻上的统计特性，它们不能反映出过程内部任意两个时刻之间的内在联系，如图所示。图中X(t))和Y(t)具有相同的均值和方差，但统计特性明显不同。X(t)变化快，Y(t)变化慢，即过程内部任意两个时刻之间的内在联系不同或者说过程的自相关函数不同。X(t)变化快，表明过程内部任意两个时刻之间波及小，互相依赖弱，即自相关性弱。而Y(t)变化慢，表明随机过程内部任意两个时刻之间波及大，互相依赖强，即自相关性强。2020/2/7213.1.2随机过程的数字特征相关：指随机过程在某时刻的取值对下一时刻的取值的影响。影响越大，相关性越强，反之，相关性越弱。随机过程的协方差函数随机过程的自相关函数121122,BttEXtatXtat11222121212,;,xatxatfxxttdxdx1212,[]RttEXtXt122121212,;,xxfxxttdxdx2020/2/7223.1.2随机过程的数字特征与的关系12,Btt12,Rtt121212,,[][]BttRttEXtEXt,Btt,Rtt随机过程的协方差函数与自相关函数常记为以下形式：其中，t为考察的起始时刻，为考察的时间间隔。综上所述，随机过程可以用均值、方差及自相关函数等数字特征来描述。在实际系统中遇到的随机过程，其数字特征的表达往往十分简洁，因此，用数字特征来描述随机过程是行之有效的方法。2020/2/7233.1.2随机过程的数字特征例3.1设随机过程为，试求随机过程的均值、方差及自相关函数。0cosXtAt式中，是一个随机变量，它在范围内服从均匀分布，其概率密度函数为021,0220,为其它值P2020/2/7243.1.2随机过程的数字特征解：均值为0000000220000[]coscoscossinsincoscossinsincoscossinsin11coscossinsin022atEXtEAtEAtAtEAtEAtAtEAtEAtdAtd2222022200222200{[]}cos1cos2cos22221cos22222DXtEXtatEXtEAtAAAEtEtAAAtd方差为2020/2/725自相关函数为200020002200020,[][coscos][coscos222cos[cos2222cos2RttEXtXtEAttAEtAAEtA3.1.2随机过程的数字特征2020/2/7263.2平稳随机过程随机过程类型：独立随机过程马尔可夫（Markov）过程独立增量过程平稳随机过程等其中平稳随机过程是应用广泛的一类随机过程。2020/2/7271.定义3.2.1平稳随机过程的定义及其含义1212,,,;,,,nnnfxxxttt平稳随机过程是指过程的任意维概率密度函数与时间的起点无关的随机过程。即满足1212,,,;,,,nnnfxxxttt实际中，判断随机过程是否平稳，通常不是去找过程的高维分布，而是通过产生的环境条件来判断。如环境条件不随时间的变化而改变，则该过程就认为是平稳的。一般地说，通信系统中遇到的随机信号和噪声都是平稳随机过程。2.含义平稳随机过程的统计特性不随时间的变化而改变。2020/2/7281.一维概率密度函数3.2.2平稳随机过程的一维及二维概率密度函数111111,,fxtfxt上式中，令，有1t11111111,,0fxtfxfxfx由上式可见，平稳随机过程的一维概率密度函数与考察时刻无关。即平稳随机过程在各个孤立时刻服从相同的概率分布。2020/2/7292.二维概率密度函数2121221212,;,,;,fxxttfxxtt1t上式中，令，有2121221221212,;,,;0,