通信原理课件第3章随机信号分析

3.13.2平稳随机过程3.3高斯随机过程3.4平稳随机过程通过线性系统3.5窄带随机过程3.6正弦波加窄带高斯噪声3.7高斯白噪声和带限白噪声第3章随机过程3.1随机过程的基本概念随机信号：信号的某个或几个参数不能预知或不能完全预知。随机噪声：凡是不能预测的噪声就统称为随机噪声。从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数来描述。随机过程可以从两个不同的角度来说明：1）把随机过程看成对应不同随机试验结果的时间过程的集合。或随过程是所有样本函数的集合。2）随机过程是随机变量概念的延伸。或随机过程可看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。图3-1样本函数的总体x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk由此我们给随机过程下一个更为严格的定义：设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就构成一随机过程，记作ξ(t)。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图3-1所示。1、随机过程的统计特性：随机过程的统计特性是通过它的概率分布或数字特征加以表述的。设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T，其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率P[ξ(t1)≤x1]，简记为F1(x1,t1)，即F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］ξ(t)的一维分布函数。如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，即有则称f1(x1,t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。),(),(1111111txfxtxF显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。任给两个时刻t1,t2∈T，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成一个二元随机变量{ξ(t1),ξ(t2)}，称F2(x1,x2;t1,t2)=P{ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2});,();,(2121212,12122ttxxfxxttxxF则称f2(x1,x2;t1,t2)为ξ(t)的二维概率密度函数。同理，任给t1,t2,…,tn∈T,则ξ(t)的n维分布函数被定义为：Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…,ξ(tn)≤xn｝)...,,;...,,(...)...,...;,(2121212,1212nnnnntttxxxfxxxtttxxF如果存在则称fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)为ξ(t)的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。2、随机过程的数字特征是由随机变量的数字特征推广而得的，其中最常用的是均值、方差和相关函数。（1）均值(数学期望)设随机过程ξ(t)在任意给定时刻t1的取值ξ(t1)是一个随机变量，其概率密度函数为f1(x1,t1)，则ξ(t1)的数学期望为1111),()]([dxtxfxtE注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t,x1改为x,这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)，于是111),()]([)(dxtxfxtEtaa(t)是时间t的确定函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。2.方差：D[ξ(t)]=D[ξ(t)]常记为σ2(t)。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻t相对于均值a(t)的偏离程度。2)]()([tatE2)]()([tat21)]([),(2tadxtxfx3.衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t1,t2)和相关函数R(t1,t2)来表示。协方差函数定义为B(t1,t2)=E{[ξ(t1)-a(t1)][ξ(t2)-a(t2)]}=f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2)]()][([2211taxtax式中，t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2时刻得到的数学期望；f2(x1,x2;t1,t2)为二维概率密度函数。相关函数定义为R(t1,t2)=E[ξ(t1)ξ(t2)]212121221),;,(dxdxttxxfxx二者关系为B(t1,t2)=R(t1,t2)-a(t1)a(t2)若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1,t2)=R(t1,t2)。这里的B(t2，t1)及R(t1,t2)由于是衡量同一过程的相关程度的，因此，它们又常分别称为自协方差函数及自相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。设ξ(t)和η(t)分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为Bξη(t1,t2)=E{[ξ(t1)-aξ(t1)][η(t2)-aη(t2)]}而互相关函数定义为Rξη(t1,t2)=E［ξ(t1)η(t2)］从以上随机过程的一般表述看到,随机过程的统计特性原则上都与时刻t1、t2…有关。就相关函数而言，它的相关程度与选择时刻t1及t2有关。若t2t1，并令t2=t1+τ，则R(t1，t2)可表示为R(t1,t1+τ)。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔τ,即相关函数是t1和τ的函数。3.21、定义所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移而变化。即指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。也就是说，如果对于任意的正整数n和任意实数t1、t2…,τ,随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fn(x1,x2,…,xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)则称ξ(t)是严平稳随机过程。由此可见，平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。它的一维分布与t无关，二维分布只与时间间隔τ有关。显然，如果考虑的是平稳随机过程，则它的一些数字特征也变得简明了：平稳随机过程的数学期望（均值）与时间无关，为a；它的自相关函数只与时间间隔τ有关，即R(t1,t1+τ)=R(τ)随机过程的这种“平稳”数字特征，有时就直接用来判断随机过程是否平稳，即（1）若一个随机过程的均值与时间无关，是常数；（2）自相关函数仅与τ有关。把同时满足以上两条件的过程称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。2、平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”。这种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来决定。也就是说，假设x(t)是平稳随机过程ξ(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为2/2/)()(1)()()(limTTTdtTXtxTTXtxR2/2/)(1)(limTTTdttxTtxa如果平稳随机过程依概率1使下式成立：aa)()(RR则称该平稳随机过程具有各态历经性。“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。3.平稳过程的自相关函数对于平稳随机过程而言，它的相关函数是特别重要的一个函数。其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函数来描述；其二，相关函数与平稳随机过程的频谱特性有着内在的联系。设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数具有下列主要性质：（1）R(0)=E［ξ2(t)］=s［ξ(t)的平均功率］这是因为，平稳随机过程的总能量往往是无穷的，而其平均功率却是有限的。（2）R(τ)=R(-τ)［R(τ)是偶函数］3.2-8）得证。（3）|R(τ)|≤R(0)［R(τ)的上界］这可由非负式R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］≥0推演而得。（4）R(∞)=E2［ξ(t)］［ξ(t)的直流功率］τ→∞时，ξ(t)与ξ(t+τ)没有依赖关系，即统计独立，且认为ξ(t)中不含周期分量。（5）R(0)-R(∞)=σ2［方差，ξ(t)的交流功率］当均值为0时，有R(0)=σ2。由上述性质可知，用相关可表述ξ(t)的主要数字特征，且以上性质有明显的实用意义。2、随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。平稳随机过程的功率谱密度Pξ(ω)与其自相关函数R(τ)是一对傅里叶变换关系,即deRwpjwr)()(dWeWPRjwr)(21)(简记为R(τ)Pξ(ω)以上关系称为维纳-辛钦关系，在此关系的基础上，可以得到以下结论：（1）对功率谱密度进行积分，可以得到平稳过程的总功率；（2）各态经历的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。例3-1某随机相位余弦波ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。（1）求ξ(t)的自相关函数与功率谱密度；（2）讨论ξ(t)是否具有各态历经性。解(1)先考察ξ(t)是否广义平稳。ξ(t)的数学期望为dtwAtEtac21)cos()]([)(20dtwtwAcc)sinsincos(cos220常数）(0]sinsin(cos[cos22020dtwdtwAccξ(t)的自相关函数为)]()([),(2121ttEttR)]cos([1twAEc]2)(cos[)([cos212122ttwttwEAccdttwAttwAcc21]2)(cos[2)(cos2122021220)(cos2122ttwAc可见ξ(t)的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔τ有关，所以ξ(t)为广义平稳随机过程。根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即R(τ)Pξ(ω)，则因为cosωcτπ［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］所以，功率谱密度为Pξ(ω)=［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］平均功率为S=R(0)=)]()([22cc22A(2)现在来求ξ(t)的时间平均。根据式（2.3-2）可得0)cos(12/2/limdttwATaTTcTdtttwACOStwATRcTTcT])(()cos(1)(2/2/limdtwtwdtwTAcTTcTTcT)22cos(cos(2lim2/2/2/2/2cwAcos22比较统计平均与时间平均，得a=,R(τ)=，因此，随机相位余弦波是各态历经的。a)(R3.3高斯随机过程一、定义：所谓高斯过程ξ(t)，即指它的任意n维（n=1,2,…）概率密度函数都服从正态分布(高斯分布)。高斯过程又称正态随机过程，它是一种普遍存在和重要的随机过程。在通信信道中的噪声通常是一种高斯过程。二、（1）高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。（2）如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，它的n维