中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第2章课后习题详解

1第二章导数与微分内容概要名称主要内容导数的定义0000()()()limxfxxfxfxx0000()()()limhfxhfxfxh0000()()()limxxfxfxfxxx函数的求导法则(1)导数的四则运算法则错误!未找到引用源。.[()()]()()uxvxuxvx错误!未找到引用源。.[()()]()()()()uxvxuxvxuxvx错误!未找到引用源。.2()()()()()[](()0)()()uxuxvxuxvxvxvxvx(2)复合函数的求导法则(链式法则)dydydudxdudx隐函数的导数(1)求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dydx(2)对数求导法:对幂指函数()()vxyux,可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数反函数的导数反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即1()()fxy,其中()xy为()yfx的反函数高阶导数(1)直接法:利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次地连续求导(2)间接法:利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶导数(3)莱布尼茨公式()0()nnknkknkuvCuv2课后习题全解习题2-1★1.用定义求函数3yx在1x处的导数.知识点：函数在某点处导数的定义思路：按照三个步骤：(1)求增量；（2）算比值；（3）求极限解：3323(1)133()()yxxxx　2210033()|limlim(33())3xxxyxxxyyxxx　　　　　★2.已知物体的运动规律2()stm,求该物体在2()ts时的速度.知识点：导数的定义思路：根据导数的定义，按照三个步骤求导解:2222000(2)(2)(2)24|limlimlim4ttttststttvttt　3.设0()fx存在，试利用导数的定义求下列极限：知识点：导数的定义思路：利用导数的定义式)()()(lim0000xfhxfhxfh求极限★(1)000()()limxfxxfxx解：0000000()()()()limlim()xxfxxfxfxxfxfxxx＝－＝－－★(2)000()()limhfxhfxhh解：00000000()()()()()()limlimhhfxhfxhfxhfxfxfxhhh　　000000000()()()()limlim()()2()hhfxhfxfxhfxfxfxfxhh★★(3)000()()lim2xfxxfxxx2解：00000000()()()()()(2)limlim22xxfxxfxxfxxfxfxfxxxx2＝000000000()()(2)()113limlim()()()2222xxfxxfxfxxfxfxfxfxxx＝＝+＝　　3★★4.设()fx在2x处连续，且2()lim22xfxx，求(2)f.知识点:导数和连续的定义思路:关键求出(2)f,再利用导数的定义解:()fx在2x处连续2(2)lim()xffx又22222()()()lim()lim(2)lim(2)lim0lim0222xxxxxfxfxfxfxxxxxx22(2)0()(2)()(2)limlim222xxffxffxfxx★5.给定抛物线22yxx,求过点(1,2)的切线方程与法线方程.知识点：导数的几何意义思路：利用导数的几何意义得切线的斜率解:21yx切线的斜率1|2111xky切线的方程为21(1)yx,即1yx法线方程为2(1)(1)yx,即3yx★6.求曲线xye在点(01)，处的切线方程和法线方程.知识点：导数的几何意义思路：利用导数的几何意义得切线的斜率解:xye切线的斜率00|1xkye切线的方程为11(0)yx,即1yx法线方程为11(0)1yx,即1yx★7.函数21,01()31,1xxfxxx在点1x处是否可导?为什么?知识点：函数在某点可导的充要条件思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件判别解：11()(1)312(1)limlim311xxfxfxfxx211()(1)12(1)limlim211xxfxfxfxx4(1)(1)ff()fx在1x处不可导.★8.用导数的定义求,0()ln(1),0xxfxxx在0x处的导数.知识点：函数在某点可导的充要条件思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件解:00()(0)ln(1)0(0)limlim100xxfxfxfxx00()(0)0(0)limlim100xxfxfxfxx(0)(0)ff(0)(0)(0)1.fff★★9.设sin,0(),0xxfxxx,求()fx.知识点：分段函数的导数思路：分段函数在每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导解：当0x时，()(sin)cosfxxx当0x时，()1fxx当0x时，00()(0)(0)limlim10xxfxfxfxx_00()(0)sin(0)limlim10xxfxfxfxx(0)1cos,0()1,0fxxfxx★★10.试讨论函数21sin,00,0xxyxx在0x处的连续性与可导性.知识点：函数在某点连续与可导的定义思路：利用函数在某点连续与可导的定义判断解:2001lim()limsin0(0)xxfxxfx()yfx在0x处连续.520001()sin01limlimlim[()sin]0xxxxyxxxxx21sinyxx在0x处可导.★★11.设()x在xa处连续,22()()()fxxax,求()fa.知识点：函数在某点处导数的定义思路：利用导数的定义求导数解:()x在xa处连续22lim()()()()()()0()limlimlim()()2()xaxaxaxaxafxfaxaxfaxaxaaxaxa★★12.设不恒为零的奇函数()fx在0x处可导,试说明0x为函数()fxx的何种间断点.知识点：导数以及间断点的定义思路：利用导数的定义求极限解:()fx为奇函数(0)(0)(0)fff(0)0f又()fx在0x处可导'0()(0)lim(0)0xfxffx即0()lim(0)xfxfx()fxx在0x处有极限.0x为函数()fxx的可去间断点.★★13.当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就不断冷却,若物体的温度T与时间t的函数关系为()TTt,应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度?知识点:导数的定义思路:导数反映的是函数的变化率,在t时刻的冷却速度即为函数()TTt对时间t的导数解:t时刻该物体的温度为()TTt,则tt时刻物体的温度为()TTtt,物体在t时刻的冷却速度0()()()lim()tTttTtdTvtTttdt.★★★14.设函数()fx在其定义域上可导,若()fx是偶函数,证明()fx是奇函数;若()fx是奇函数,则()fx是偶函数(即求导改变奇偶性).知识点：导数的定义思路：利用导数的定义求导数解:若()fx为偶函数时,()()fxfx6000()()()()()limlim()()lim()xxxfxxfxfxxfxfxxxfxxfxfxx＝＝-－()fx为奇函数.若()fx为奇函数时,()()fxfx000()()()()()limlim()()lim()xxxfxxfxfxxfxfxxxfxxfxfxx＝＝()fx　为偶函数.习题2-2★1.计算下列函数的导数：知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数(1)35yxx;解:5(35)(3)(5)32yxxxxx(2)2533xxyxe;解:22(533)(5)(3)(3)103ln33xxxxxxyxexexe(3)2tansec1yxx;解:2(2tansec1)(2tan)(sec)(1)2secsectanyxxxxxxx(4)sincosyxx;解:22(sincos)(sin)cossin(cos)cossincos2yxxxxxxxxx(5)3lnyxx;解:3332321(ln)()ln(ln)3ln(3ln1)yxxxxxxxxxxxx(6)cosxyex;解:(cos)()cos(cos)cossinxxxxxyexexexexex7(7)lnxyx;解:2221ln(ln)ln1lnxxxxxxxxyxxx(8)(1)(2)(3)yxxx;解:(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)yxxxxxxxxx(2)(3)(1)(3)(1)(2)xxxxxx(9)1sin1costst;解:22(1sin)(1cos)(1sin)(1cos)cos(1cos)(1sin)(sin)(1cos)(1cos)ttttttttstt21sincos(1cos)ttt(10)3sinxxyxxae;解：333(sin)()()sin(sin)()()xxxxxxyxxaexxxxaeae21331sincosln3xxxxxxxxaeaae(11)2logln2yxx;解:22221(log)(ln2)log(log)0logln2yxxxxxxx(12)225341xxyx.解:222222(534)(1)(534)(1)'(1)xxxxxxyx2222222(103)(1)(534)(2)3(61)(1)(1)xxxxxxxxx★2.计算下列函数在指定点处的导数:知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数(1)3333xyx,求(0)y;8解:32233()()33(3)xyxxx1(0)3y(2)2(31)xyexx,求(0)y.解:222(31)(31)(23)(2)xxxxyexxexxexexx20(0)(2)1(112)2xxyexx