中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第5章课后习题详解

高等数学一第5章课后习题详解课后习题全解习题5-1★★1.利用定积分的定义计算由抛物线21yx，直线xa，xb()ba及横轴所围成的图形的面积知识点：定积分的定义及几何意义思路：根据求定积分的三步骤做解:将,ab分成n等分,取(1,2,)iin为第i个小区间1[(),()]iiabaabann的右端点,则,ibaxn,ibaain显然,0,n于是根据定积分的几何意义,该图形面积00lim()nbiiaiAydxyx21lim[()1]nnibabaainn22221()lim[12]nnibababaaaiinnn222211()lim[(1)2]nnniibababanaaiinnn22232()(1)()1lim{()[1(1)(21)]}26nabannbabaannnnn221()11()lim[1()(1)(1)(2)]6nbabaaabannn222()()[1]3babaaaba33().3baba★★2.利用定积分的定义计算下列积分：知识点：定积分的定义思路：根据求定积分的三步骤做(1)baxdx()ab.解:易见函数(),fxxCab，从而可积，将,ab分成n等分，则,ibaxn于是0,n；取(1,2,)iin为第i个小区间的右端点，则,0,1,2,,1,ibaaiinn所以11000lim()lim()nnbiianiibabaxdxfxainn1()lim{[(0121)]}nbabanannn2(1)()lim[]2nbannbaan1()lim[(1)]2nbabaan221()()().22babaaba(2)1lnexdx解:用分点(0,1,,)inixein划分区间1,e：11,1,2,,iinniiixxxeein，取i是区间右端点，则,()ln()ln,iinniiiiixefen作和，并取极限得：1101lnlim()lim()iinnenniinniiixdxfxeen111111lim{[()]}iiinnnnnniiiieeennn11111(1)limlim(1)innnnineeeenne111(1)lim()1nneene记()1xxgxe，则当0x时，()gx是00型的，由洛必达法则，有001limlim11xxxxxee从而，当n时，有111lim11nnne，故1ln(1)1.exdxee★3．利用定积分的几何意义，说明下列等式：(1)1021xdx.知识点：定积分的几何意义思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积解:等式左边为直线2yx与x轴和1x三条直线所围成的面积，该面积等于11212等式右边.(2)sin0xdx解:等式左边为正弦曲线sinyx与x轴在x及x之间所围成的面积，其左右两边面积互为相反数.则sin()0xdxAA等式右边★★4.用定积分的几何意义求()()baxabxdx(0)b的值.知识点：定积分的几何意义思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积解:因为22()()()()22baabxabxx是以2ab为圆心，2ba为半径的上半圆，其面积为：2221()()2228babaSr由定积分的几何意义知：2()()().8babaxabxdx★★★5.试将和式的极限112limppppnnn(0)p表示成定积分.知识点：定积分的定义思路：根据定积分的定义推导过程可知,求和的极限公式可表示为定积分解:112112limlim[()()()]pppppppnnnnnnnnn11lim()npniinn设()pfxx，则用定义求解10()fxdx为：①、等分[0,1]为n个小区间：11[,],1,2,,iiiinxnnn②、求和：取区间1[,]iinn上的右端点为i，即iin，作和：111()nniiiiifxnn③、求极限：011111lim()lim()lim()nnnppiinniiiiifxnnnn∴1101121limlim()pppnpppnninixdxnnn★★★6.有一河，宽为200米，从一岸到正对岸每隔20米测量一次水深，测得数据如下：xm宽020406080100120140160180200ym深25911191721151163试用梯形公式求此河横截面面积的近似值.知识点：定积分的几何意义思路：由定积分定义知：求定积分（曲边梯形面积）的第二步：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，即1()()iixiixfxfxdx，若用小梯形面积近似代替小曲边梯形面积则为：111[()()]()2iixiiixfxfxxfxdx。解:积分区间,0,200,ab并对该区间作10等分，则区间分点(1,2,,)ixin及其对应的函数值iy恰如表中所示，第i段的梯形横截面面积：11()2iibayyn∴此河横截面面积0101291[()]23302baAyyyyynm习题5-2★1.证明定积分性质:(1)()()bbaakfxdxkfxdx.(k是常数)知识点：定积分性质思路：利用定义推导定积分的性质证明：设()fx在,ab上可积，对任意的分法与取法，记max{}ix(1,2,,)in0011()lim()lim()()nnbbiiiiaaiikfxdxkfxkfxkfxdx(2)1=bbaadxdxba.知识点：定积分的定义证明：因为()1,fx于是对任意的分法，有001lim1lim().nbiaidxxbaba★2.估计下列各积分的值:(1)421(1)xdx知识点：定积分性质思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围解：因为2x及21x在区间[1,4]上单调递增，故22117,[1,4]xx，而区间长度413ba，所以421236(1)17351.xdx即4216(1)51xdx(2)210xedx知识点：定积分性质思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围解：记2()xfxe，先求出()fx在0,1上的最值，由于22()220,0,1,xxfxexxex所以()fx在0,1上单调增加，因此010,10,1min()(0)1,max()(1)xxfxfefxfee，即1()fxe，再由定积分的性质，得：211100011xdxedxedxe(3)313arctanxxdx知识点：定积分性质思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围解：记1()arctan,[,3]3fxxxx，因为21()arctan0,(,3),31xfxxxx所以()fx在1,33单调增加113min()()arctan,33363mfxf3min()(3)3arctan3,3Mfxf31311(3)arctan(3),63333xxdx即3132arctan93xxdx(4)2211xdxx知识点：定积分性质思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围解：令2(),1xfxx因为当12x时，2221()0,(1)xfxx所以函数()fx在区间1,2上单调减少，因此minmax222211(),(),125112fxfx区间长度211,ba所以22121.512xdxx(5)20xxedx知识点：定积分性质解：令(),xfxxe因为当20x时，()(1),xfxxe驻点为1,x21(2)2,(1),(0)0,fefef所以minmax22(),()0,fxfxe所以22040.xxedxe★★3.设()fx及()gx在,ab上,连续,证明:(1)若在,ab上,()0fx,且()0bafxdx,则在,ab上,()0fx;知识点：定积分性质思路：用反证法，通过定积分的估值不等式得到矛盾结论来证明证明：设0(,)xab，但0()0fx，不妨设0()0fx，∵()fx在0x处连续，∴00lim()()0xxfxfx，由极限的保号性：00(,)(,)xxab，使当00(,)xxx时，有()0fx，从而00()0xxfxdx()0bafxdx，与条件()0bafxdx矛盾！∴()0fx，(,)xab，同理可证：当xa或xb时，()0,()0fafb所以()0fx，[,]xab(2)若在,ab上,()0fx,且()0fx,则()0bafxdx;知识点：定积分性质思路：反证法和(1)的结论来求证证明：因为()0(,)fxxab，所以()0bafxdx，而()bafxdx是数值，它仅有零或非零两种可能若设()0bafxdx，则由上面已证，在上必有()0fx，这与题设()0fx矛盾，从而()0bafxdx.(3)若在,ab上,()()fxgx,且()()bbaafxdxgxdx,则在,ab上,()()fxgx.知识点：定积分性质思路：由定积分性质和(1)结论求证证明：设()()(),[,]Fxfxgxxab，则由题设可知：()0,[,]Fxxab又因为()()()0bbbaaaFxdxfxdxgxdx，由(1)得，()()()0Fxfxgx，从而()(),[,]fxgxxab★★4.根据定积分性质比较下列每组积分的大小:(1)120xdx，130xdx知识点：定积分性质思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小解：当(0,1)x时，32xx，即230xx.1230()0xxdx112300xdxxdx(2)10xedx，210xedx知识点：定积分性质思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小解：因为当(0,1)x时，2xx，故2xxee.因此：21100xxedxedx(3)10xedx，10(1)xdx知识点：定积分性质思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小解：令()(1)xfxex，则()10xfxe，0,1x，且仅当0x时，(0)0f，所以在0,1上，()fx单调增加()(1)0(0),(1)xxfxexfex即又因为在0,1上，(1)xex，即()fx不会恒为0.所以1100()[(1)]0,xfxdxexdx即1100(1)xedxxdx(4)20xdx，20sinxdx知识点：定积分性质思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小解