电磁场随机FDTD的统计变化分析概要

电磁场随机FDTD的统计变化分析StevenM.Smith,Member,IEEE,andCynthiaFurse,Fellow,IEEE摘要--本文介绍了一种新的计算变化电磁场所造成的差异或在模型中的材料的电性能不确定性的随机有限差分时域（S-FDTD）方法。使用截断的泰勒级数近似得出一维推导的详细信息。S-FDTD的分析是进行比较MonteCarlo分析的一维生物电磁学的例子。该方法的准确度由交叉相关性的近似字段和电气性能所控制。在本文中，我们能结合1（高估）的交叉相关和使用的差异反射系数（低估）。关键词--Delta法，有限差分时域（FDTD），蒙地卡罗，统计，随机时域有限差分（FDTD），方差。1.简介时域有限差分方法（FDTD）通常用于评估许多应用中的电磁场，包括生物电磁学[1]-[3]，地球物理勘探[4]，大气的研究[5]，[6]，等。正如所有的电磁仿真，由模型和源的配置，以及由在模型中的材料的电性能控制场域。在这里列出的特定的应用程序，它们有一个共同之处是---他们的电气性能各不相同，要么是因为个体之间变异统计，地球上各部分之间，或着大气中的时间的时刻。电气性能可能也有可变性，因为在测量中的不确定性，制造中的变化，组合物的变化，等等。传统的时域有限差分模拟使用这些统计变量材料的介电常数和电导率平均值，并且作为结果返回这种模式中产生的平均场。但是，在模型中的变化是众所周知的引起变化的领域，电流，特定吸收率（SAR），和其他感兴趣的电气性能。成人和儿童的研究表明，使用手机的头部和厚耳朵对吸收功率有显着的效果[1]-[3]。其他的研究[7]，[8]显示了头部形状的影响可以忽略不计。组织特性的变异也对吸收的功率和植入式天线失谐有显着影响[9]，[10]。众所周知的，场模型中的变量属性统计也各不相同，传统的数值模拟不提供这些信息。预算值通过各种方法运行多个模拟和不同的属性获得预算值，以确定其输出场。在[1]-[3]，[7]，[8]的一系列模式运行可能预期最大/最小，最高/最低值。场中的变化被发现是非常重要的。但是，复杂的电磁场耦合装置整体人口的场的实际范围不一定从任何选定的模型示例获得。有用的统计特性，如变差，标准差，90％置信区间，预期的最大或最小值，等。可以通过以下获得运行选定的各个模型。需要一种方法来确定在电磁场中的电学性质的可变性引起的可变性。蒙特卡罗方法[11]的传统方法从物理参数（尺寸）可变性及电性能可变性得到的统计变化的场。它被成功地应用于一维时域有限差分[7]，也被应用于与其他数值方法，如有限元法（FEM）[12]。蒙特卡洛模拟运行一个庞大的数字，在根据它们的统计信息的“随机”的选择的属性的每个模拟。它产生一个电场输出集合，然后可以进行评估他们的平均值和变化。蒙特卡罗方法是'gold标准“的统计模拟，并产生准确的统计信息的领域。不幸的是，它需要数千或数万成千上万的模拟来完成它的分析，因此耗费太多的时间中要使用许多今天需要的现实世界的模拟。“蒙特卡罗方法将被用于验证thenew随机FDTD（S-FDTD）方法中，我们描述了本文利用一维模拟的准确性，但它是不切实际的运行更复杂的三维FDTD仿真来评估人的头部，例如手机互动。微扰理论[13]，，是近似在模型参数中的小变化的影响的另一种方法。在传统意义上，它认为解决的办法利用一个被截断的泰勒级数展开只使用最初的几个条款，此截断级数被代入方程近似，并扩展方程。泰勒级数的系数，他们决定通过线性代数求得。这是其中一个的方法，用于在发现使用有限元法模拟的机械系统[14]的随机特性。我们将用泰勒级数展开，即三角洲方法，[26]S-FDTD方法的推导。本文讨论了需要评估数值模拟的统计变化的一个更有效的方法。它提出了一种新的方法，纳入统计的电气性能的变化直接进入传统的时域有限差分法。电气特性的变异导致的电场和磁场的变化，这是通过在典型的FDTD时尚的时间和空间的迭代进行的变异。这个新的随机FDTD（S-FDTD）方法提供了一种直接估计的平均和变化在空间和时间中的每一点处的领域。这提出了S-FDTD的基本推导和近似互相关控制其精度在第二节的讨论，并在第三节使用aMonte-Carlo模拟验证其准确性的一维的生物电磁例如，该方法的可行性，。据我们所知，这是第一个模拟的那种直接计算的统计在时间和空间上的可变性。Ⅱ.随机时域有限差分（FDTD）由于时域有限差分方法首先在1966年设想的[15]，众多改编扩展它的功能。例如，热传导方程，使计算与电磁加热[16]的温度曲线，[17]，加入等离子流体方程，使在电离层等离子体天线的分析[18]，加拜的Cole-Cole方程组织的特性，使评价与频率相关的材料[19]-[22]，和近远场转换省却了需要延长的空间点阵的远场[23]。如同这些以前的修改，开始S-FDTD方法与传统的FDTD方法[15]，并增加了额外的FDTD迭代方程，提供额外的功能。在这种情况下，电场和磁场的变化的方差方程添加到启用通过典型的FDTD迭代计算它们的统计信息在空间和时间中的每一点。图1,时域有限差分（白色）和S-FDTD（增加以灰色显示）的流程图。图1显示了传统的的FDTD迭代（白框显示）随着S-FDTD方法的（灰色框显示）的差异计算增加。本文给出了在一维（1D）的推导是为了简单和效率，并非推广到三维[24]，[25]。时域有限差分法[23]（此处显示为TEZ在一维的情况下）与法拉第电磁感应定律以不同的形式开始。1/21/21/21/21nnyynnxxkktkkzHHEE（1）不同的形式安培定律：0101/21/20221/21/22rnnxxrnnyyrtkktkkztEEHH（2）时间指标n，和时间步长t控制模拟的时间分辨率。空间代数k，空间步长z，控制空间分辨率。他们是相关的，如他们是本文的模拟2/tzc，c是光的速度，在传统的时域有限差分模拟的电性能，相对磁导率μr（=1），相对介电常数εr和电导率σ，被视为平均电性能，对于在第三节中蒙卡罗模拟，在模型中这些属性选择在“随机”的统计数据的基础上的生物学特性。对于S-FDTD方法，这些属性有统计差异，从而改变了以上方程。应当指出，在S-FDTD方法可以通过将在的单元格的大小，范围内的变化可能被扩大，以包括在物理大小（s）的可变性模式，通过将内的变化的单元格的大小z模式，但我们还没有这方面的试验与S-FDTD。A.平均场值在S-FDTD推导，我们有随机方程（1）和（2）含有4个为一维的情况下的随机变量:EX,HY,相对介电常数εr电导率σ，符号电导率的符号已变更为区分从它的方差运算符。我们将使用增量方法[26]（1）和（2），开始一个通用函数的泰勒级数展开，得出的均值和方差的场，，随机变量x1，x2,x3,.....xn.每个这些变量的平均值被定义为1x等等。在我们的情况下，函数将会是（1）或（2），变量将会是EX,HY,εr或者σ。1,2,3,....,1,2,...,1,2,...,1,2,3,....,1112...12!ininijijnnniginnijgijgxgxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx（3）以预期（3）和应用的线性度的期望算子给出：1,2,3,...,1,2,,1,2,....,1,2,3,...,111...,21....2!ininijijnnnigInnijgijEgxEgExxxxxxxxxxExxxxxxxxxxxx（4）从（4）变为零的几个方面。例如ExExiiXxIi[27],[28].假设XEIXI事实上，一个常数的期望是一个常数，这些术语产量为零。记EaXaEX[27][28](4)现在可以简化为1,2,3,1,2,3,....,.....nnEggxxxxxxxx+.......!2111........,201,...,,2,121ninjNIGuxuxEuxExjjxiiuuuxxgxiiuuuXxnxxjixnxxI从而忽略高阶项中删除最后期限（5）,结果显示：uuuuxxxxxxxxggEnn,....,3,2,1,...,3,2,1这是传统的时域有限差分的数学验证的做法，它说，平均（或预期）的字段（左手侧（6）），可以发现通过求解场方程使用的装置或变量的平均值（右边的手侧（6））。因此，方程组的S-FDTD方法中的字段的平均值是传统的场（1）和（2）。由EX和Hy的值现在认识到的平均场值，可以发现，通过输入知道平均电性能r和。图2：1D绮单元格包括随机变量。B.H领域的差异现在，我们寻找[27]，[28]定义场的方差。xxxxng,...,3,2,12=2,...3,2,1xxxxngE-2,....3,2,1xxxxngE再次使用增量方法，扩大（7）的泰勒级数每个随机变量的平均值，并忽略的高阶给：,12,....21,2,3,...,11gijixxxnnngniiijgExxxxjxxxxxux现在，我们将应用（8），以确定场的方差（1）和（2）。我们还需要两个恒等式[27]，[28]，方差的随机变量，X和Y的总和：222222[]2(,){}XYCovXYyxaXXaa是常量，协方差是,{}{}(10)XYCovXYXY其中.是标准偏差，XY是相关系数由于所有的时域有限差分方程，关键是要保持正确的时间和空间位置的所有变量。单元格（图2）中使用的传统的时域有限差分，以确定的位置场的条件和假设的电场和磁场的变化来抵消一半的时间步长，我们将增加代表的领域和电气性能的方差的变量，所以，重要的是还包括他们在一单元格（图2）和相关的时间表示。图2显示新的一维S-FDTD单元格的代表，包括在时间和空间的变量上新的方差。这些的时间和空间的点，将会用于下面的推导的（1）和（2）的方差。由方差的（1）式可得：21/21/21/21/2nnyykkHH22221nnxxkktEEz(11)利用（9）和重新整理，我们得出：221/21/21/21/2nnyykkHH1/21/21/21/21/21/2,21/21/2nnkknnyykkHHHH122222,121nNkKnnxxnnxxkkkkEEEEtEEz(12)关键近似的相关系数必须求出。1和1-[27]，[28]之间是有界的。相关系数在这种情况下我们要找到n+1/2n-1/2k+1/2k+1/2，HHH的领域在时间n+1/2与n-1/2之间的值，这两个领域中由一个时间步长t分离。这些领域彼此高度相关，因此，我们可以使用相关系数为1[24]。在（12）中的右边，我们有相关系数nnk+1kEE为被以z间隔分离的两个邻域的值。这些也高度相关，因此，我们可以设置相关系数等于1[24]。使用近似给这两个相关系数和重新安排条件，21/21/2nykH