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第2讲磁场对运动电荷的作用力【基础知识必备】一、洛伦兹力洛伦兹力的方向和大小1．洛伦兹力：磁场对_________的作用力．2．洛伦兹力的方向(左手定则)(1)伸出左手，使拇指与其余四个手指_____，并且都与手掌在同一个平面内．(2)让磁感线从掌心进入，并使_____指向正电荷运动的方向(或负电荷运动的反方向)．运动电荷垂直四指(3)______所指的方向就是运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向．如图，①表示_______运动的方向或_______运动的反方向，②表示______的方向，③表示__________的方向．拇指正电荷负电荷磁场洛伦兹力3．洛伦兹力的大小：F＝_________，θ是v与B之间的夹角．(1)当v∥B时，F＝__.(2)当v⊥B时，F＝____.0qvBsinθqvB【知识对点自测】1．判一判(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用．()(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直．()(3)洛伦兹力和安培力是性质完全不同的两种力．()(4)粒子在只受到洛伦兹力作用时运动的动能不变．()(5)带电粒子只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是()解析：B由左手定则判断知B项正确．二、带电粒子在匀强磁场中的运动1．洛伦兹力的特点：洛伦兹力不改变带电粒子速度的_____，或者说，洛伦兹力对带电粒子_______．2．粒子的运动性质(1)若v0∥B，则粒子_____________，在磁场中做______________．大小不做功不受洛伦兹力匀速直线运动(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做_____________．如上图，带电粒子在磁场中，①中粒子做__________运动，②中粒子做_________运动，③中粒子做_________运动．匀速圆周运动匀速圆周匀速直线匀速圆周3．半径和周期公式(1)由qvB＝____，得r＝____.(2)由v＝2πrT，得T＝____.mv2rmvqB2πmqB【知识对点自测】3.(2018·浙江名校协作体联考)粗糙绝缘水平面上垂直穿过两根长直导线，俯视图如图所示，两根导线中通有相同的电流，电流方向垂直纸面向里．水平面上一带电滑块(电性未知)以某一初速度v沿两导线连线的中垂线入射，运动过程中滑块始终未脱离水平面．下列说法正确的是()A．滑块可能做加速直线运动B．滑块可能做匀速直线运动C．滑块可能做曲线运动D．滑块一定做减速直线运动解析：D根据安培定则，知两导线连线上的垂直平分线上：上方的磁场方向水平向右，而下方的磁场方向水平向左，根据左手定则，可知滑块受到的洛伦兹力方向垂直于水平面向上或向下，滑块所受的支持力减小或增大，滑块所受的滑动摩擦力与速度反向，滑块一定做减速直线运动，故A、B、C错误，D正确．4.质量和电量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是()A．M带负电，N带正电B．M的速率小于N的速率C．洛伦兹力对M、N做正功D．M的运行时间大于N的运行时间解析：A由左手定则可知，N粒子带正电，M粒子带负电，A正确．又rNrM，由r＝mvqB可得vNvN，B错误．洛伦兹力与速度时刻垂直，不做功，C错误．粒子在磁场中的运行时间t＝θ2πT＝T2，又T＝2πmqB，所以tM＝tN，D错误.考向一洛伦兹力的理解及简单应用1．洛伦兹力的特点(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功．(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向．2．洛伦兹力与安培力的联系及区别(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力．(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．3．洛伦兹力与电场力的比较对应力内容项目洛伦兹力电场力产生条件v≠0且v不与B平行电荷处在电场中大小F＝qvB(v⊥B)F＝qE力方向与场方向的关系一定是F⊥B，F⊥v与电荷电性无关正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反做功情况任何情况下都不做功可能做正功、负功，也可能不做功【典例1】图中a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示．一带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是()A．向上B．向下C．向左D．向右【解析】B根据安培定则及磁感应强度的矢量叠加，可得O点处的磁场向左，再根据左手定则判断带电粒子受到的洛伦兹力向下．【针对训练】1.如图所示，在竖直绝缘的平台上，一个带正电的小球以水平速度v0抛出，落在地面上的A点，若加一垂直纸面向里的匀强磁场，则小球的落点()A．仍在A点B．在A点左侧C．在A点右侧D．无法确定解析：C洛伦兹力虽不做功，但可以改变小球的运动状态(改变速度的方向)，小球做曲线运动，在运动中任一位置受力如图所示，小球受到了斜向上的洛伦兹力的作用，小球在竖直方向的加速度ay＝mg－qvBcosθm＜g，故小球平抛的时间将增加，落点应在A点的右侧．2.如图所示，a是竖直平面P上的一点，P前有一条形磁铁垂直于P，且S极朝向a点．P后一电子在偏转线圈和条形磁铁的磁场的共同作用下，在水平面内向右弯曲经过a点．在电子经过a点的瞬间，条形磁铁的磁场对该电子的作用力的方向()A．向上B．向下C．向左D．向右解析：A由题意知，磁铁在a点磁场方向为垂直于P向前，电子在a点的瞬时速度方向向右．根据左手定则，可以判断出洛伦兹力方向向上，A正确．考向二带电粒子在匀强磁场中的运动1．匀速圆周运动的规律若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．2．圆心的确定(1)基本思路：与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心．(2)两种常见情形．①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲a所示，图中P为入射点，M为出射点)．②已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)．3．半径的确定可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．并注意以下两个重要的几何特点：(1)粒子速度的偏向角φ等于圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt.(2)相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ＋θ′＝180°.4．运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为t＝θ2πT(或t＝θRv)．【典例2】(2017·课标Ⅱ)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场．若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用．则v2∶v1为()A.3∶2B.2∶1C.3∶1D．3∶2【思路点拨】本题中粒子源发出的粒子射向各个方向，由于同一速率的粒子在同一磁场中做圆周运动时的轨迹圆的半径相同，因此可用旋转圆的方法找出临界条件，由临界条件确定几何关系，求出粒子做圆周运动的半径，再由半径公式确定速度的关系．【解析】C由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由qvB＝mv2R可知，R＝mvqB，即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同．若粒子运动的速度大小为v1，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子的磁场出射点A离P点最远时，则AP＝2R1；同样，若粒子运动的速度大小为v2，粒子的磁场出射点B离P点最远时，则BP＝2R2，由几何关系可知，R1＝R2，R2＝Rcos30°＝32R，则v2v1＝R2R1＝3，C项正确．【规律方法】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题三步法【针对训练】3.平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q0)．粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为()A.mv2qBB.3mvqBC.2mvqBD.4mvqB解析：D粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由qvB＝mv2R得R＝mvqB，分析图中角度关系可知，PO′半径与O′Q半径在同一条直线上．则PQ＝2R，所以OQ＝4R＝4mvqB，选项D正确．4.(2017·长春调研)如图所示，在一个边长为a的正六边形区域内存在磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场．三个相同的带正电粒子，比荷为qm，先后从A点沿AD方向以大小不等的速度射入匀强磁场区域，粒子在运动过程中只受到磁场力作用．已知编号为①的粒子恰好从F点飞出磁场区域，编号为②的粒子恰好从E点飞出磁场区域，编号为③的粒子从ED边上的某一点垂直边界飞出磁场区域．求：(1)编号为①的粒子进入磁场区域的初速度大小；(2)编号为②的粒子在磁场区域内运动的时间；(3)编号为③的粒子在ED边上飞出的位置与E点的距离．解析：(1)设编号为①的粒子在磁场中做圆周运动的半径为r1，初速度大小为v1，则qv1B＝mv21r1，由几何关系可得r1＝a2sin60°，解得v1＝3Bqa3m.(2)设编号为②的粒子在磁场中做圆周运动的半径为r2，线速度大小为v2，周期为T2，则qv2B＝mv22r2，T2＝2πr2v2，，解得T2＝2πmBq由几何关系可得，编号为②的粒子在磁场中运动转过的圆心角为60°，则在磁场中运动的时间t＝T6＝πm3Bq.(3)设编号为③的粒子在磁场中做圆周运动的半径为r3，如图所示，由几何关系可得AE＝2acos30°＝3a，r3＝AEsin30°＝23a，OE＝AEtan30°＝3a，EG＝r3－OE＝(23－3)a.答案：(1)3Bqa3m(2)πm3Bq(3)(23－3)a考向三带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题带电粒子在不同边界磁场中的运动(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图甲)．(2)平行边界(存在临界条件，如图乙)．(3)三边形边界如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图．已知边长为2a，D点距A点3a，粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示．(4)常见圆边界磁场①圆形边界：若带电粒子沿指向圆心的方向射入磁场，则射出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心，如右图所示．②磁发散和磁聚焦：当粒子做圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等时，会出现磁发散或磁聚焦现象，即当粒子由圆形磁场的边界上某点以不同速度射入磁场时，会平行射出磁场，如图甲所示；当粒子平行射入磁场中时，会在圆形磁场中汇聚于圆上一点，如图乙所示．甲乙【典例3】如图所示，在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于xOy所在的纸面向外．某时刻在x＝l0，y＝0处，一质量为m、电荷量为＋q的粒子a沿y轴负方向进入磁场；同一时刻，在x＝－l0，y＝0处，一质量为4m、电荷量为＋2q的粒子b垂直磁场方向射入磁场．不计粒子的重力及其相互作用．(1)如果粒子a经过坐标原点O，求它的速度为多大？(2)如果粒子b与粒子a在坐标原点O相遇，粒子b的速度应为何值？方向如何？【思路点拨