非线性系统分析_描述函数1

第三章非线性控制系统分析•3.1非线性控制系统概述•3.2描述函数法•3.3相平面法•3.4Popov法1.非线性现象的普遍性非线性是宇宙间的普遍规律非线性系统的运动形式多样，种类繁多线性系统只是在特定条件下的近似描述2.非线性系统的一般数学模型其中，f(·)和g(·)为非线性函数。3.1非线性控制系统概述(,,,)(,,,)nmnmdydydrdrftygtrdtdtdtdt3.非线性系统的分类•按非线性环节的物理性能及非线性特性的形状划分，非线性特性有死区、饱和、间隙和继电器等。x(t)y(t)(1)死区特性（不灵敏区特性）很小时作为线性特性处理特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。较大时将使系统静态误差增加，系统低速不平滑性死区或不灵敏区()0()()[()sign()]xtaytxtakxtaxt特点：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。x(t)y(t)•放大器的饱和输出特性•磁饱和•元件的行程限制•功率限制等。(2)饱和特性()()()()sgn()xtakxtytxtakaxt(3)间隙特性特点：•输入输出之间具有多值关系。•齿轮传动中的齿隙•液压传动中的油隙间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏。[()]()0()[()]()0sgn()()0kxtaytytkxtaytcxtyty(t)x(t)cy(t)x(t)(4)继电器特性理想继电器具有死区的单值继电器具有滞环的继电器具有死区和滞环的继电器包含有死区、饱和、滞环特性y(t)x(t)y(t)x(t)x(t)y(t)y(t)x(t)•以非线性环节的输入和输出之间存在的函数关系划分，非线性特性可分为单值函数和多值函数两类。死区特性、饱和特性和理想继电器特性都属于单值情况；间隙特性和一般继电器特性属于多值情况。4.非线性系统特征•不适用叠加性原理•稳定性分析复杂–非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，也与初始条件以及系统的输入信号的类型和幅值有关。•可能存在自持振荡（极限环）现象–自持振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内部产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。–线性系统的运动状态只有收敛和发散，只有在临界稳定的情况下才能产生周期运动。•频率响应发生畸变非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量外，还含有w的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。•G(s)、G(jw)对非线性系统不适用5.非线性系统的分析与设计方法•非线性系统分析的重点–某一平衡点是否稳定，如果不稳定应如何校正；–系统中是否会产生自持振荡，如何确定其周期和振幅；–如何利用或消除自持振荡以获得需要的性能指标。•基本的非线性系统研究方法小范围线性近似法逐段线性近似法相平面法相平面法是非线性系统的图解法，只适用于阶数最高为二阶的系统。描述函数法描述函数法是非线性系统的频域法，适用于具有低通滤波特性的各种阶次的非线性系统。李雅普诺夫法3.2描述函数法问题的提出•线性系统理论相对成熟，能否将一些非线性系统近似为线性系统研究？•描述函数:非线性环节的近似等效频率特性，可应用线性系统理论中的频率法对非线性系统进行频域分析。•基本思想：当系统满足一定假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可以用一次谐波分量来近似。•主要解决的问题：无外部作用情况下，非线性系统的稳定性和自振荡。一、描述函数的定义1.基本概念y(x)是关于x原点对称的函数可得：输出的一次谐波分量()sinxtAtw输入：0011()(cossin)sin()nnnnnnytAAntBntAYnt稳态输出：非正弦周期信号，可展开成傅立叶级数。00A直流分量：201()cos()nAytntdtww201()sin()nBytntdtww22nnnYABarctannnnAB11111()()cossinsin()ytytAtBtYt22111YAB111arctanAB22111111()arctanABYANAAAB稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比：——描述函数•如果非线性环节的输入输出特性y(x)是x的奇函数,则A0＝0。•如果y(t)是t的奇函数,则A1＝0,若进一步y(t)又为半周期内对称，则例如：非线性元件的特性为当输入为x=Asinwt,由上面结论可知A0＝0,A1＝0。311()24yxxx2101()sin()Byttdtww2104()sin()Byttdtww2应用基本假设•非线性系统应可简化为如下一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式。•非线性环节的输入输出特性y(x)是x的奇函数,即保证A0＝0。•非线性环节中不包含储能元件。•系统的线性部分应具有较好的滤波性能。r=0c+-Nxy()Gs3.描述函数的物理意义•非线性环节的描述函数反映了非线性系统正弦响应中一次谐波分量的幅值和相位相对于输入信号的变化。•关于输入正弦信号幅值A的复变增益放大器。二、典型非线性特性的描述函数1.理想继电器特性()sinxtAtw(0)()(2)MtytMtww01()(cossin)nnnytAAntBntww210001()sin()2()sin()24sin()ByttdtyttdtMMtdtwwwwww14()0YMNAAA2.死区饱和非线性由于y(t)是奇函数，所以3.若,得到饱和特性的描述函数122()[sin1()]()kaaaNAAaAAA4.对于死区特性，得，由前面可知a/A=1，得到死区特性的描述函数为122()[sin1()]()2kNAAAAA05.死区与滞环继电非线性环节22222()1()1()(1)()MmhhMhNAjmAhAAAA4()MNAA理想继电特性：死区继电特性：纯滞环继电特性：0h1m1m24()1MhNAAA2244()1jMhMhNAAAA()Ah()Ah几点说明：•一般而言,描述函数N(A)是A的函数,与频率w无关；•非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数；•如果一非线性可以看作是两个非线性的叠加、即（并联）12yyy设y1、y2、y分别有N1(A)、N2(A)、N(A）12()()()NANANA三、利用描述函数法分析非线性系统稳定性1.稳定性的定性分析•在满足一定假设时，有r=0c+-N(A)xy()Gs()()()()1()()CjNAGjRjNAGj1()()0NAGjw其特征方程为Nyquist判据：若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(jw)轨迹不包围G平面的(-1,j0)。负倒描述函数（描述函数负倒特性)线性系统()1NA1()0Gjw()1Gjw1()()GjNAw③G(jw)与负倒描述函数相交闭环系统出现自持振荡稳定还是不稳定？振幅（A）？频率(w)？设：系统开环的线性部分G(jw)稳定①G(jw)不包围负倒描述函数闭环系统稳定②G(jw)包围负倒描述函数闭环系统不稳定2.自持振荡（极限环）分析当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点被G(jw)轨迹包围，系统不稳定；振幅A继续增大；不返回到a。当微小扰动使振幅A减小到d点，d点未被G(jw)轨迹包围，系统稳定；振幅A继续减小；不返回到a。a点为不稳定自振交点。微小扰动稳定极限环和不稳定极限环0bcadfe()Gjw()Xw()jYw1()NAA0ww0A0bcadfe()Gjw()Xw()jYw1()NAA0ww0A当微小扰动使振幅A增大到e点时，e点未被G(jw)轨迹包围，系统稳定；振幅A减小；返回到b。当微小扰动使振幅A减小到f点，f点被G(jw)轨迹包围，系统不稳定；振幅A增大；返回到b。b点为稳定自振交点。例子：具有饱和非线性特性的控制系统(1)求K=15时系统的自由运动状态；(2)系统稳定工作，不出现自激振荡，K的临界稳定值是多少？①求取非线性特性的负倒描述函数并画出曲线。当A=1时，-1/N(A)=-0.5，当A→时，-1/N(A)→-，因此-1/N(A)位于-0.5~-段的复实轴上。②线性部分的频率特性③-1/N(A)与G(jw)的交点令ImG(jw)=0，可得到两曲线交点的频率为将频率值代入ReG(jw)，可得到交点处的幅值所以利用-1/N(A)=G(jw)，可得到A=2.5由判据可知，交点对应的周期信号2.5sin7.07t的运动是稳定的自激振荡。④求临界值K为使系统稳定工作，不出现自激振荡，只需要G(jw)的曲线不包围-1/N(A)。求得临界值K=7.5。例子：具有死区非线性特性的控制系统(1)M=1.7,h=0.7,分析系统是否存在自激振荡，若出现自激振荡，求出自振的频率和振幅。①求取非线性特性的负倒描述函数并画出曲线。r(t)②画出负倒描述函数曲线线性部分的Nyquist图。当A/h=1时，-1/N(A)=-，当A/h=时，-1/N(A)→-，因此-1/N(A)存在极值。令d(-1/N(A))/dA=0，得到A/h=1.414。③求出交点。容易求出交点M1处的振幅A1=0.76,是不稳定振荡。M2处的振幅A2=1.83,是稳定振荡。用描述函数法分析系统稳定性的步骤：(1)将非线性系统化成典型结构图；(2)由定义求出非线性部分的描述函数N；(3)在复平面作出G(jw)和-1/N的轨迹；(4)判断系统是否稳定，是否存在极限环；(5)如果系统存在极限环，进一步分析极限环的稳定性,确定它的频率和幅值；另外，用描述函数法设计非线性系统时，很重要的一条是避免G(jw)和-1/N的轨迹相交，这可以通过非线性校正方法实现。K①试分析系统稳定性；②如果系统出现自持振荡，如何消除之？K＝20，死区继电器特性M＝3，a＝l。A＝a=1A∞1()NA1()NA22Aa242[5(6)]()(2)(3)(1336)KKjGjjjjG(jw)轨迹与负实轴交点频率值242(6)]Im()0(1336)KGj6w4266(5)2Re()||0.6670.524(1336)3KGjG(jw)轨迹与负倒描述函数有两个交点：a——不稳定自振交点b——稳定自振交点221()141()121()AANAaMAAmax1|0.524()26aNAM求极值：212()31121()ANAAa——不稳定自振交点b——稳定自振交点A1＝1.11A2＝2.3max61Re()||()GjNAww如要求稳定1）改变G(jw)——调整KK4266(5)Re()||(1336)6KGj15.72Kmax61Re()||()GjNAww2）改变N(A):调整死区继电器特性的死区a或输出幅值M2Aamax1|()2aNAM62Re()|32aGjMww2.36Ma取a=1、M=2max1|0.785()4NA描述函数小结(1)基本假设①结构上：N(A),G(jw)串联②y(x)是x的奇函数③G(jw)低通滤波特性好(2)稳定性分析(3)自振分析)(wjG)(1AN不包围包围相交于则系统稳定不稳定可能自振穿入穿出不稳定自振点的点是稳定自振点)(1AN)(wjG1.描述函数的概念、定义11)(AYAN2.描述函数分析方法