高数 (一)(下)考题讲解

一、单项选择题（每小题2分，共20分）答案：A2、微分方程23dyxydx的通解是【】A、xyCeB、3xyCeC、3yxCD、ln(3)yCx答案：B1、微分方程02)(2xyyyx的阶数是【】A.1B.2C.3D.43、已知cba,,都是单位向量，且满足0cba，则abbcca=【】A.-1B.1C.23D.-23答案：D4、点M（1.2.1）到平面2260xyz的距离是【】(A)－1(B)1(C)31(D)1答案：DA.连续,偏导数存在；B.连续,偏导数不存在；C.不连续,偏导数存在；D.不连续,偏导数不存在.5.函数2222220(,)00xyxyxyfxyxy在点(0,0)处【】答案：C6、函数2uxyz在点1,1,2处沿从该点到点3,2,4的方向的方向导数为【】A:4B:-4C:43D:-1答案：A),0(222aayxDdxdyyx22a3233433217、设D是圆域且，则【】C、D、A、1B、答案：B8、将积分221110),(yydxyxfdy改换积分次序得到【】A．221111),(xxdyyxfdxB．221110),(xxdyyxfdxC．21011),(xdyyxfdxD．01012),(xdyyxfdx答案：C9、设曲线积分ydyxfydxexfLxcos)(sin])([与路径无关，其中)(xf具有一阶连续导数，且0)0(f。则)(xf等于【】A、2xxeeB、2xxeeC、12xxeeD、21xxee答案：A10、下列命题中正确的是【】A.若0limnnu，则1nnu收敛.B.若0limnnu，则1nnu发散.C.若0limnnu，则1nnu收敛.D.若0limnnu，则1nnu发散.答案：D二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、设向量3,2,1a，向量1,4,3b，则ba2,10,142、曲线32,,2xtytzt在对应于1t的点处的法平面方程是09223zyx3、微分方程05532yxx满足条件2,0yx的解为2215123xxy4、微分方程''2'0yyy的通解是.)(21CxCeyx5、设函数223),(xyyxyxu，则)2,1(du=dydx86、设,,326fxyzxyxyz，则gradf(1,-1,2)=。{2,-1,-6}7、设xyxyyxD2,0|),(22，则D的面积为28、设L为抛物线2yx上从00,0到1,1A的一段弧，则2L2xydxxdy.19、给定正项级数1nnu，若kuunnn1lim，则当时此级数是收敛的。1k10、幂级数2311(1)||1nnxxxxx1--+++,的和函数()sx=.11x三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、设方程22sinxeyza确定了函数(,)zzxy，求22,yzyz22,,sin,xFxyzeyza,cos,2xxyzFeFyFzcos,2yzFzyyFz3222224cossin2cossin21zyyzzyzyzyyz解：设则（3分）(2分)10222zyxzyxdzdydzdx,022201zdzdyydzdxxdzdydzdxddxzyzyxddyxzzyx2、设，求解：在方程组的两边对z求导数,得解此方程组，得；（3分）（2分）3、计算二重积分dxdyxyD2，其中D由抛物线pxy22与)0(2ppx直线所围的区域。解：如右图pxy222pxdxxydydxdyxyppppyD222222262188pppyydyp55111122821pp(5分)4、利用柱面坐标计算三重积分zdv，其中是由曲面222xyz及平面2z所围成的闭区域.解：联立解方程组2222xyzz,得交线224xy将其投影在xoy面上得投影区域22:4Dxy则在柱面坐标下区域表示为：202,02,22z2222002zdvddzdz所以2222002122dzd=462202164204243d（2分）（3分）5、设L为连接(1.0)及(0,1)两点的直线段，求曲线积分Ldsyx)()10(1xxyLdsyx)(10(1)2xxdx解:L的方程为则(5分)26、计算对面积的曲面积分22xyzds，其中为平面226xyz在第一卦限的部分.2213xydszzdxdydxdy解：:03,03xoyxyx又平面在面上投影区域为D则2263Dxyzdsdxdy　3300183xdxdy分30183xdx23118381202xx（分）7、求微分方程244xyyye的通解解：原方程的特征方程为0442rr，特征根为22,1r（1分）对应的齐次方程的通解为xexccY221)(（1分）可设方程的特解为xeaxy22，代入方程解得21a（2分）方程的通解为得xxexexccy2222121)(（1分）8、将函数1()2fxx展开成关于x的幂级数解：2311,11nxxxxxx而(3分)1112212xx2311112224822nnxxxxxx(2分)四、应用题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）1、做一个容积为31m的有盖圆柱形桶，问半径及高的尺寸应如何，才能使用料最省？解：设圆柱体的底圆半径及高分别是,rh则表面积)(22rhrs，且12hr(1分)令)1()(2).(22hrrhrhrF(2分)由10202222hrrrFrhhrFhr321r322h得(3分)因驻点)22.21(33唯一，且实际问题的最小值存在故31,2rmmh322为所求的尺寸。(1分)2、设一平面薄片所占闭区域D由抛物线2yx及直线1x所围成，它在点,xy处的面密度为2,xyxy，求该薄片的质心.解：因为薄片关于x轴对称，所以质心的纵坐标0y，现只求x（1分）211221yDMxyddyxydx1122262111114[]2221yxdxyydxy（2分）21122221yyDMxyddyxydx1123282111114[]3327yxdxyydxy（2分）47274921yMxM所以质心为7,09（2分）五、证明题(本大题共1小题，共6分)1.证明交错级数11)1(nnn条件收敛。n101limnn证明：∵单调递减且∴11)1(nnn(3分)收敛但1111)1(nnnnn发散∴11)1(nnn条件收敛(3分)