高数 分部积分法

问题?dxxex解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数)(xuu和)(xvv具有连续导数,,vuvuuv,vuuvvu,dxvuuvdxvu.duvuvudv分部积分公式一、基本内容例1求积分.cosxdxx解（一）令,cosxudvdxxdx221xdxxcosxdxxxxsin2cos222显然，选择不当，积分更难进行.vu,解（二）令,xudvxdxdxsincosxdxxcosxxdsinxdxxxsinsin.cossinCxxx例2求积分.2dxexx解,2xu,dvdedxexxdxexx2dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx（再次使用分部积分法）,xudvdxex总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)u例3求积分.arctanxdxx解令,arctanxudvxdxdx22xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxxdxxxxx222112arctan2dxxxx)111(21arctan222.)arctan(21arctan22Cxxxx例4求积分.ln3xdxx解,lnxu,443dvxddxxxdxxln3dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.u例5求积分.)sin(lndxx解dxx)sin(ln)][sin(ln)sin(lnxxdxxdxxxxxx1)cos(ln)sin(ln)][cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxxdxxxxx)sin(ln)]cos(ln)[sin(lndxx)sin(ln.)]cos(ln)[sin(ln2Cxxx例6求积分.sinxdxex解xdxexsinxxdesin)(sinsinxdexexxxdxexexxcossinxxxdexecossin)coscos(sinxdexexexxxxdxexxexxsin)cos(sinxdxexsin.)cos(sin2Cxxex注意循环形式例7求积分.1arctan2dxxxx解,1122xxxdxxxx21arctan21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxxdxxxxx222111arctan1dxxxx2211arctan1令txtandxx211tdtt22sectan11tdtsecCtt)tanln(secCxx)1ln(2dxxxx21arctanxxarctan12.)1ln(2Cxx例8已知)(xf的一个原函数是2xe,求dxxfx)(.解dxxfx)()(xxdf,)()(dxxfxxf,)(2Cedxxfx),()(xfdxxf两边同时对求导,得x,2)(2xxexfdxxfx)(dxxfxxf)()(222xex.2Cex合理选择，正确使用分部积分公式vu,dxvuuvdxvu二、小结思考题在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？思考题解答注意前后几次所选的应为同类型函数.u例xdxexcos第一次时若选xucos1xdxexcosdxxexexxsincos第二次时仍应选xusin2一、填空题：1、xdxxsin________________；2、xdxarcsin_______________；3、计算xdxxln2，u可设_____,dv________；4、计算xdxexcos，u可设____,dv________；5、计算xdxxarctan2，u可设____,dv______；6、计算dxxex，u可设______,dv__________.二、求下列不定积分：1、dxxx2cos22；2、dxxx23)(ln；练习题3、nxdxeaxcos；4、dxex3；5、dxx)cos(ln；6、dxxxex232arctan)1(.三、已知xxsin是)(xf的原函数，求dxxxf)('.四、设CxFdxxf)()(，)(xf可微，且)(xf的反函数)(1xf存在，则CxfFxxfdxxf)()()(111.一、1、Cxxxsincos；2、Cxxx21arcsin；3、dxxx2,ln；4、,xexdxcos；5、dxxx2,arctan；6、dxexx,.二、1、Cxxxxxxsincossin21623；2、Cxxxx]6ln6)(ln3)[(ln123；3、Cnxnnxanaeax)sincos(224、Cxxex)22(33323；练习题答案5、Cxxx)]sin(ln)[cos(ln2；6、Cexxxarctan2121；7、Cexexexxxx22.三、Cxxxsin2cos.