高等代数(北大版)第10章习题参考答案

第十章双线性函数与辛空间1、设V是数域P上的一个三维线性空间，1，2，3是它的一组基，f是V上的一个线性函数，已知f(1+3)=1,f(2-23)=-1,f(1+2)=-3求f(X11+X22+X33).解因为f是V上线性函数，所以有f(1)＋f(3)=1f(2)-2f(3)=-1f(1)+f(2)=-3解此方程组可得f(1)＝4，f(2)＝－7，f(3)＝－3于是f(X11+X22+X33).＝X1f(1)＋X2f(2)＋X3f(3)＝4X1－7X2－3X32、设V及1，2，3同上题，试找出一个线性函数f,使f(1+3)＝f(2-23)=0,f(1+2)=1解设f为所求V上的线性函数，则由题设有f(1)＋f(3)=0f(2)-2f(3)=0f(1)+f(2)=1解此方程组可得f(1)＝－1，f(2)＝2，f(3)＝1于是aV,当a在V的给定基1，2，3下的坐标表示为a=X11+X22+X33时，就有f(a)=f(X11+X22+X33)=X1f(1)＋X2f(2)＋X3f(3)=-X1+2X2+X33、设1，2，3是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令1＝1－3，2＝1＋2－3，3＝2＋3试证：1，2，3是V的一组基，并求它的对偶基。证：设（1，2，3）＝（1，2，3）A由已知，得A＝110011111因为A≠0，所以1，2，3是V的一组基。设g1,g2,g3是1，2，3得对偶基，则（g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（Aˊ）1＝（f1,f2,f3）011112111因此g1=f2-f3g2=f1-f2+f3g3=-f1+2f2-f34.设V是一个线性空间，f1,f2,…fs是V*中非零向量，试证：∈V，使fi()≠0(i=1,2…,s)证：对s采用数学归纳法。当s＝1时，f1≠0,所以∈V，使fi()≠0，即当s＝1时命题成立。假设当s=k时命题成立，即∈V，使fi()=i≠0(i=1,2…,k)下面证明s=k+1时命题成立。若f1k()≠0,则命题成立，若f1k()＝0，则由f1k≠0知，一定∈V使f1k()＝b,设fi()=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0，使ai+cdi≠0(i=1,2…,k)令c，则∈V，且fi()=ai+cdi≠0(i=1,2…,k)f1k()＝cb≠0即证。5．设1，2，…s是线性空间V中得非零向量，试证：fi(i)≠0(i=1,2…,s)证：因为V是数域P上得一个线性空间，V*是其对偶空间，若取定V中得一个非零向量，则可定义V*的一个线性函数**如下：**(f)=f()(f∈V*)且**是V*的对偶空间（V*)*中的一个元素，于是，V到其对偶空间的对偶空间（V*)*的映射→**是一个同构映射，又因为1，2，…s是V中的非零向量，所以1**，2**，…s**对偶空间V*的对偶空间（V*)*中的非零向量，从而由上题知，f∈V*使f(i)＝i**(f)≠0(i=1,2…,s)即证.6.设V＝P[x]3,对P(x)=C0+C1x+C2x2∈V,定义f1(p(x))=10()pxdxf2(p(x))=20()pxdxf3(p(x))=10()pxdx试证f1，f2，f3都是V上线性函数，并找出V的一组基p1(x),p2(x),p3(x),使f1，f2，f3是它的对偶基。证：先证是V上线性函数，即f1∈V*，对g(x),h(x)∈V,k∈P,由定义有f1（g(x)＋h(x)）＝10(()())gxhxdx＝10()gxdx＋10()hxdx＝f1(g(x))+f1(h(x))f1(kg(x))=10()kgxdx=k10()gxdx=kf1(g(x))即证f1。同理可证f2，f3∈V*。再设p1(x),p2(x),p3(x)为V的一组基，且f1，f2，f3是它的对偶基。若记P1(x)=C0+C1x+C2x2则由定义可得f1(p(x))=10()pxdx＝C0+12C1+13C2=1f2(p(x))=20()pxdx=2C0+2C1+83C2=0f3(p(x))=10()pxdx=-C0+12C1-13C2=0解此方程组得C0=C1=1,C2=-32故P1(x)=1+x-32x2同理可得p2(x)=-16+12x2p3(x)=-13+x-12x27.设V是个n维线性空间，它得内积为（，），对V中确定得向量，定义V上的一个函数*：*（）=（，）1）证明*是V上的线性函数2）证明V到V*的映射是V到V*的一个同构映射（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间。）3）证：1）先证明*是V上的线性函数，即*∈V*，对1，2∈V，k∈P，由定义有：*（1＋2）＝（，1＋2）＝（，1）＋（，2）＝*（1）＋*（2）*（k1）=（，k1）=k（，1）=k*（1）故*是V上的线性函数。2）设1，2…n是V的一组标准正交基，且对∈V由定义i*（）＝（i）(i=1,2…,n)知i*（j）＝（i，j）＝1,0,ijij于是1*，2*…n*是1，2…n的对偶基，从而V到V*的映射是V与V*中两基间的一个双射因此它也是V到V*的一个同构映射8．设A是数域P上N维线性空间V得一个线性变换。1）证明，对V上现行函数f，fA仍是V上的线性函数；2）定义V*到自身的映射为f→fA证明A*是V*上的线性变换；3）设1，2…n是V的一组基，f1，f2，fn是它的对偶基，并设A在1，2…n的矩阵为A。证明：A*在f1，f2，…fn下的矩阵为A′。证：1）对∈V，由定义知（fA）（）＝f（A（））是数域P中唯一确定的元，所以fA是V到P的一个映射。又因为，∈V，k∈P,有（fA）（＋）＝f（A（＋））＝f（A（）＋A（））＝（fA）（）＋（fA）（）（fA）（k）＝f（A（k））=f（kA（））=kf（A（））=k（fA）（）所以fA是V上线性函数。2）对f∈V*，有A*（f）=fA∈V*,故A*是V*上的线性变换。3）由题设知A（1，2…n）＝（1，2…n）A设A*（f1，f2，…fn）＝（f1，f2，…fn）B其中A=(aij)nn,B=(bij)nn,且f1，f2，…fn是1，2…n的对偶基，于是fjA＝A*（fj），所以aji=bij(i,j=1,2,…n),即证A*在f1，f2，…fn下的矩阵为B=A′.9.设V是数域P上的一个线性空间，f1，f2，…fn是V上的n个线性函数。1）证明：下列集合W＝{∈V︱fi()=0(1≤i≤n)}是V的一个子空间，W成为线性函数f1，f2，…fn的零化子空间；2）证明：V的任一子空间皆为某些线性函数的零化子空间。证：1）因为f1，f2，…fn是V上的n个线性函数，所以f∈V*(1≤i≤n)，且fi(0)=0(i=1,2,…n)，因而0∈W，即证W非空。又因为，∈V，∈P，有fi(＋)＝fi()＋fi()＝0(i=1,2,…n)fi()＝fi()＝0所以＋∈W，∈W，即证W是V的一个子空间。2）设W1是V的任一子空间，且dim（W1）＝m,则当m＝n时，只要取f为V的零函数，就有W1＝V＝{∈V︱f()=0}所以W1是f的零化子空间。当mn时，不妨设1，2…m为W1的一组基，将其扩充为V的一组基1，2…m，1m，…n，并取这组基的对偶基f1，f2，…fn的后n-m个线性函数f1m,f2m,…,fn,则W1=V={∈V︱fi()=0(m+1≤i≤n)}即W1是f1m,f2m,…,fn的零化子空间，事实上，若令U1＝{∈V︱fi()=0(m+1≤i≤n)}则对＝a11+a22+…+amm∈W1,有f1m()=f2m()=…=fn()=0因而∈U1，即W1U1。反之，＝b11+b22+…+bmm+b1m1m+…bnn∈U1，由f1m()=f2m()=…=fn()=0，可得b1m＝b2m=…=bn=0,因而＝b11+b22+…+bmm+b1m1m+…bnn∈W1，即U1W1，故U1＝W1。10．设A是数域P上的一个m极矩阵，定义Pmn上的一个二元函数f(X,Y)=tr(X′AY)(X,Y∈Pmn)1)证明f(X,Y)是Pmn上的双线性函数；2)求f(X,Y)在基E11,E12,…,E1n,E21,…,E2n,…,E1m,E2m,…,Emn下的度量矩阵。证：1）先证f(X,Y)是Pmn上的双线性函数，对X,Y,Z∈Pmn,k1,k2∈P由定义有f(X,k1Y+k2,Z)=tr(X′A(k1Y+k2Z))=k1tr(X′AY)+k2tr(X′AZ)=k1f(X,Y)+k2f(Y,Z)因而f(X,Y)是Pmn上的双线性函数。2）由E'ijAEks＝aikEjs知f(Eij,Eks)=tr(E'ijAEks)=tr(aikEjs)=,0,ikajsjs以下设f(X,Y)在基E11,E12,…,E1n,E21,…,E2n,…,E1m,E2m,…,Emn下的度量矩阵为B，则B=111212122212mmmmmmaEaEaEaEaEaEaEaEaE其中，E为n阶单位矩阵。11．在P4中定义一个双线性函数f(X,Y),对X＝（x1,x2,x3,x4）,Y=(y1,y2,y3,y4)∈P4有f(X,Y)=3x1y2-5x2y1+x3x4-4x4y31)给定P4的一组基1＝（1，－2，－1，0），2＝（1，－1，1，0）3＝（－1，2，1，1），4＝（－1，－1，0，1）求f(X,Y)在这组基下的度量矩阵；2）另取一组基1，2，3，4，且（1，2，3，4）＝（1，2，3，4）T其中T＝1111111111111111求f(X,Y)在这组基下的度量矩阵。解1）设f(X,Y)在给定基1，2，3，4下的度量矩阵为A=(aij)44,则A＝475141227011114154152其中aij＝f(i,j).3)设f(X,Y)在给定基1，2，3，4下的度量矩阵为B,则由（1，2，3，4）＝（1，2，3，4）T可得B=T′AT=64682418261672238001540012.设V是复数域上的线性空间，其维数n=2,f(,)是V上的一个对称双线性函数。1）证明V中有非零向量使f(，)＝02）如果f(,)是非退化的，则必有线性无关的向量，满足f(，)＝1f(，)＝f(，)＝0证1）设1，2…n为复数域上N维线性空间V的一组基，f(,)是V上的对称双线性函数，则f(,)关于基1，2…n的度量矩阵A为对称矩阵，于是，存在非退化的矩阵T，使T′AT=000rE=B若令（1，2，3，…n）＝（1，2…n）T则1，2，3，…n也是V的一组基，且f(,)关于基1，2，3，…n的度量矩阵为B，因此＝X11+X22+…Xnn,=Y11+Y22+…Ynn∈V,有f(,)=X1Y1+X2Y2+…+XrYrf(,)=X21+X22+…+X2r(0≤r≤n)故而当r=