高等数学 常微分方程

1机动目录上页下页返回结束微分方程第十二章习题课二、一阶微分方程求解三、可降阶的高阶微分方程求解一、微分方程的概念四、常系数齐次线性微分方程求解2机动目录上页下页返回结束【例】,xyy,0)(2xdxdtxt,32xeyyy,yxxz一、微分方程的概念常微分方程偏微分方程含有自变量、未知函数及其导数的方程叫做微分方程.(本章内容)分类方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.0),,,,()(nyyyxF),,,,()1()(nnyyyxfy(n阶显式微分方程)一般地,n阶常微分方程的形式是或3机动目录上页下页返回结束【分类1】常微分方程,偏微分方程.,0),,(yyxF一阶微分方程);,(yxfy高阶(n)微分方程,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy【分类2】【分类3】线性与非线性微分方程.),()(xQyxPy;02)(2xyyyx【分类4】单个微分方程与微分方程组.,2,23zydxdzzydxdy4机动目录上页下页返回结束,00ts20dd0tts引例24.0dd22xy---使方程成为恒等式的函数.通解---解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,,)(,)(nnyxyyxyyxy---确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相等.特解xxy2dd21xy引例1Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212xy特解:微分方程的解---不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.5机动目录上页下页返回结束待定系数法基本概念一阶方程类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.全微分方程6.线性方程7.伯努利方程可降阶方程线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4欧拉方程二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项f(x)的形式及其特解形式高阶方程特征方程法主要内容6机动目录上页下页返回结束作变换微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降阶作变换积分因子7机动目录上页下页返回结束转化1、可分离变量微分方程解分离变量方程可分离变量方程0)(d)(11xNxxMyyNyMd)()(22)()(dd21yfxfxyxxfyygd)(d)(二、一阶微分方程求解两边积分,得xxfd)(则有8机动目录上页下页返回结束2、齐次方程)(xyfdxdy形如的微分方程称为齐次方程.2）.【解法】,xyu作变量代换,xuy即代入原式,dxduxudxdy),(ufdxduxu.)(xuufdxdu即可分离变量的方程1）.【定义】属于一阶微分方程),(yxfy9机动目录上页下页返回结束,0)(时当uuf,ln)(1xCuufdu得,)(uCex即）（uufduu)()(,代入将xyu,)(xyCex得通解,0u当,0)(00uuf使,0是新方程的解则uu,代回原方程.0xuy得齐次方程的解10机动目录上页下页返回结束)()(ddxQyxPxy一阶线性微分方程的标准形式:,0)(xQ当上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.,0)(xQ当3、线性方程【例如】,dd2xyxy,sindd2ttxtx,32xyyy,1cosyy线性的;非线性的.11机动目录上页下页返回结束一阶线性微分方程的解法0)(ddyxPxy1）.解齐次方程分离变量两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(2）.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy12机动目录上页下页返回结束xxPeuxPd)()(对应齐次方程通解xxPeCyd)(对应齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(用常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换)()(ddxQyxPxy非齐次方程两端积分得CxexQuxxPd)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(13机动目录上页下页返回结束伯努利(Bernoulli)方程的标准形式nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.3）、伯努利方程时，当1,0n时，当1,0n14机动目录上页下页返回结束【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.)()(dd1xQyxPxyynn令,1nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.(关于z,x的一阶线性方程).))()1(()()1()()1(1CdxexQnezydxxPndxxPnn15机动目录上页下页返回结束【例1】求下列方程的通解;01)1(32xyeyy［提示］(1),33xyxyeee因故为分离变量方程:通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy33116机动目录上页下页返回结束方程两边同除以x即为齐次方程,yyxyx22)2(时，0x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解.化为17机动目录上页下页返回结束32232336)4(yyxyxxy［方法1］这是一个齐次方程.［方法2］化为微分形式0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故这是一个全微分方程.xyu令xQyxyP618机动目录上页下页返回结束【例2】求下列方程的通解:)lnln()1(yxyyyx［提示］(1)令u=xy,得(2)将方程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxuxuxulnddxyyxxxy2ln21dd3(贝努里方程)2yz令(分离变量方程)原方程化为19机动目录上页下页返回结束【例3】【解】识别下列一阶微分方程的类型，并求解)1xyy①可分离变量的微分方程②齐次方程③一阶线性齐次方程④全微分方程通解为.xCy所求通解为0cos)1sin()2xdydxxy①②程一阶线性非齐次微分方全微分方程.cosCxxy【解】20机动目录上页下页返回结束5tan)3ydxdyx①可分离变量的微分方程②程一阶线性非齐次微分方所求通解为.5sinxCy)422yxyyx①齐次方程②贝努里方程.12222CxxyCxyxy或通解为【解】【解】[作业:P268;同济p304、p309、同济p315]21机动目录上页下页返回结束【例1】求方程xycos)3(的通解.【解】因为xycos)3(,所以,32212sin)cos(CxCxCxdxCCxxy【特点】方程右端仅含有自变量x.【解法】()1).()nyfx型的微分方程连续积分n次就可得到方程的通解Cxxxysindcos2cosd)(sinCCxxxCxy三、可降阶的高阶微分方程求解22机动目录上页下页返回结束2）.),(yxfy型的微分方程.这是一个关于自变量x和未知函数)(xp的一阶微分方程,【解法】令)(xpy,则)(xpy代入方程若可以求出其通解),(1Cxp,则),(1Cxy再积分一次就能得原方程的通解.))(,()(xpxfxp得【方程特点】方程右端不显含未知函数y23机动目录上页下页返回结束【例2】求方程2)(12yyyx的通解.【解】分离变量得xxpppd1d22,因2)(12yyyx不显含未知函数y,则令)(xpy,故)()(xpxy，将其代入所给方程,得xCp121.212ppxp，得两边积分Cxpln||ln)1ln(224机动目录上页下页返回结束即11xCp也即11xCy.dxxCy211)1(则为所求方程的通解.22311)1(32CxCC25机动目录上页下页返回结束【解法】求解这类方程可令)(ypy则3）.),(yyfy型的微分方程【方程特点】右端不显含自变量x.pypxyyypxyyddddd)(ddd,这是关于y和p的一阶微分方程,如能求出其解),(dd),(pyfyppyyfy可化为于是，方程),(1Cyp,则可由),(dd1Cyxy用分离变量法即可求出原方程的通解.21),(dCxCyy26机动目录上页下页返回结束【例3】求微分方程02yyy的通解【解】方程不显含自变量x21||lnCxCy代入方程得xpydd则xyypddddyppdd两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp即(一阶线性齐次方程)故所求通解为)(22CeC27机动目录上页下页返回结束1、定义)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnnn阶常系数线性微分方程的标准形式0qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程的标准形式四、常系数齐次线性微分方程求解28机动目录上页下页返回结束2、二阶常系数齐次线性方程解法21rrxrexCCy1)(21-----特征方程法02qrpr称②为微分方程①的特征方程,1）.当特征方程②有两个相异实根,21r,r因此方程的通解为xrxreCeCy2121①②则微分其根称为特征根.2）.当特征方程②有两个相等实根则微分因此方程的通解为3）.当特征方程②有一对共轭复根则微分因此方程的通解为)sincos(21xCxCeyx29机动目录上页下页返回结束【例1】032yyy求方程的通解.【解】特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为【例2】求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts【解】特征方程0122rr有重根,121rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为22C30机动目录上页下页返回结束.052的通解求方程yyy【解】特征方程为,0522rr解得,2121ir，故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx【例3】31机动目录上页下页返回结束)(xfyqypy),(为常数qp3.［二阶常系数线性非齐次微分方程］根据解的结构定理,其通解为Yyy非齐次方程特解齐次方程通解【求特解的方法】根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法［f(x)常见类型］),(xPm,)(xmexP,cos)(xexPxl,sin)(xexPxn［对应齐次方程］,0qyypy［通解结构］【难点】如何求特解？32机动目录上页下页返回结束xxPxxPenlxsin)(cos)(对非齐次方程yqypy),(为常数qpxRxRexymmxksincos)2()1(则可设特解:为特征方程的k重根