高等数学-习题答案-方明亮-第十一章

1高等数学方明亮版第十一章答案习题11-11．判断下列方程是几阶微分方程？（1）23dtan3sin1dyytttt；（2）(76)d()d0xyxxyy；（3）2()20xyyyx；（4）422()0xyyxy．解微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶．所以有，（1）一阶微分方程；（2）一阶微分方程；（3）三阶微分方程；（4）三阶微分方程．2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1）2xyy，25yx；（2）0yy，3sin4cosyxx；（3）20yyy，2exyx；（4）2()()20xyxyxyyyy，ln()yxy．解（1）将10yx代入所给微分方程的左边，得左边210x，而右边＝22(5)x210x左边，所以25yx是2xyy的解．（2）将3cos4sinyxx，3sin4cosyxx代入所给微分方程的左边，得左边(3sin4cos)(3sin4cos)0xxxx右边，所以3sin4cosyxx是所给微分方程0yy的解．（3）将2exyx，22eexxyxx，22e4eexxxyxx代入所给微分方程的左边，得左边222(2e4ee)2(2ee)e2e0xxxxxxxxxxxx（右边），所以2exyx不是所给微分方程20yyy的解．（4）对ln()yxy的两边关于x求导，得1yyxy，即xyyyxy．再对x求导，得2()yyxyxyyyyxy，即2()()20xyxyxyyyy，所以ln()yxy是所给微分方程2()()20xyxyxyyyy的解．3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件．（1）22xyC，05xy；（2）2120()e,0xxyCCxy，01xy．2解（1）将0x，5y代入微分方程，得220525C所以，所求函数为2225yx．（2）222212122e2()e(22)exxxyCCCxCCCx，将00xy，01xy分别代入212()exyCCx和2122(22)exyCCCx，得10C，21C，所以，所求函数为2exyx．4．能否适当地选取常数，使函数exy成为方程90yy的解．解因为exy，2exy，所以为使函数exy成为方程90yy的解，只须满足2e9e0xx，即2(9)e0x．而e0x，因此必有290，即3或3，从而当3，或3时，函数33e,exxyy均为方程90yy的解．5．消去下列各式中的任意常数12,,CCC，写出相应的微分方程．（1）2yCxC；（2）tanyxxC；（3）12eexxxyCC；（4）212()yCCx．解注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程．（1）由2yCxC两边对x求导，得yC，代入原关系式2yCxC，得所求的微分方程为2()yxyy．（2）由tan()yxxC两边对x求导，得2tan()sec()yxCxxC，即2tan()tan()yxCxxxC．而tan()yxCx，故所求的微分方程为2yyyxxxx，化简得22xyyxy．（3）由12eexxxyCC两边对x求导，得12eexxyxyCC，3两边再对x求导，得12eexxyyxyCC，这样便可得所求的微分方程为2xyyxy．（4）由212()yCCx两边对x求导，得122()yCyC，将212()yCCx代入上式，并化简得12xyyC，对上式两边再对x求导，得22yxyy，故所求的微分方程为20xyy．习题11-21．求下列微分方程的通解或特解：（1）ln0xyyy；（2）cossinsincos0xydxxydy；（3）22()yxyyy；（4）(1)d()d0xyxyxyy；（5）23yyxyx，01xy；（6）22sind(3)cosd0xyxxyy，16xy．解（1）分离变量，得11ddlnyxyyx，两端积分，得ln(ln)lnlnyxC，即lnyCx，所以原方程的通解为eCxy．注该等式中的x与C等本应写为||x与||C等，去绝对值符号时会出现号；但这些号可认为含于最后答案的任意常数C中去了，这样书写简洁些，可避开绝对值与正负号的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处理．（2）原方程分离变量，得coscosddsinsinyxyxyx，两端积分，得4ln(sin)ln(sin)lnyxC，即ln(sinsin)lnyxC，故原方程的通解为sinsinyxC．（3）原方程可化成2d(1)2dyxyx，分离变量，得212dd1yxyx，两端积分，得12ln(1)xCy，即12ln(1)yxC是原方程的通解．（4）分离变量，得dd11yxyxyx，两边积分，得ln(1)ln(1)lnyyxxC，即e(1)(1)yxCyx是原方程的通解．（5）分离变量，得2dd31yyxxy，两端积分，得2211ln(31)ln62yxC，即211262(31)exyC．由定解条件01xy，知16(31)C，即162C，故所求特解为21112662(31)2xye，即223312exy．（6）将方程两边同除以2(3)sin0xy，得522cosdd03sinxyxyxy，两端积分，得122cosdd3sinxyxyCxy，积分后得2ln(3)ln(sin)lnxyC（其中1lnCC），从而有2(3)sinxyC，代入初始条件16xy，得4sin26C．因此，所求方程满足初始条件的特解为2(3)sin2xy，即2arcsi3n2yx．2．一曲线过点0(2,3)M在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲线的方程．解设曲线的方程为()yyx，过点(,)Mxy的切线与x轴和y轴的交点分别为(2,0)Ax及(0,2)By，则点(,)Mxy就是该切线AB的中点．于是有22yyx，即xyy，且(2)3y，分离变量后，有11ddyxyx，积分得lnlnlnyCx，即Cyx．由定解条件23xy，有6C，故6yx为所求的曲线．3．一粒质量为20克的子弹以速度0200v（米/秒）打进一块厚度为10厘米的木板，然后穿过木板以速度180v（米/秒）离开木板．若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方成正比（比例系数为k），问子弹穿过木板的时间．解依题意有62ddvmkvt，0200tv，即21ddkvtvm，两端积分得，10.02kktCtCvm（其中20克＝0.02千克），代入定解条件0200tv，得1200C，故有200100001vkt．设子弹穿过木板的时间为T秒，则02000.1d100001Ttkt0200ln(100001)10000Tktk1ln(100001)50kTk，又已知tT时，180vv米/秒，于是20080100001kT，从而，0.00015kT，为此有0.1ln(1.51)500.00015T，所以0.10.0075ln2.5T0.000750.00080.9162（秒），故子弹穿过木板运动持续了0.0008T（秒）．4．求下列齐次方程的通解或特解：（1）220xyyyx；（2）22()dd0xyxxyy；（3）332()d3d0xyxxyy；（4）(12e)d2e(1)d0xxyyxxyy；（5）22ddyxxyyx，11xy；（6）22(3)d2d0yxyxyx，01xy．解（1）原方程变形，得21yyyxx，7令yux，即yux，有yuxu，则原方程可进一步化为21uxuuu，分离变量，得211dd1uxxu，两端积分得2ln(1)lnlnuuxC，即21uuCx，将yux代入上式并整理，得原方程的通解为222yyxCx．（2）原方程变形，得22ddyxyxxy，即21ddxxyyxy．令yux，即yux，有yuxu，则原方程可进一步化为21uuxuu，即1dduuxx，两端积分，得211ln2uxC，将yux代入上式并整理，得原方程的通解为22(2ln)yxxC（其中12CC）．（3）原方程变形，得332dd3yxyxxy，即32d1()d3()yyxxyx，令yux，有ddddyuuxxx，则原方程可进一步化为32d1d3uuuxxu，即3231dd12uuxux，8两端积分，得311ln(12)lnln22uxC，即23(12)xuC，将yux代入上式并整理，得原方程的通解为332xyCx．（4）显然，原方程是一个齐次方程，又注意到方程的左端可以看成是以xy为变量的函数，故令xuy，即xuy，有ddddxuuyyy，则原方程可化为d()(12e)2e(1)0duuuuyuy，整理并分离变量，得2e11dd2euuuyuy，两端积分，得ln(2e)lnlnuuyC，即2euCuy．将xuy代入上式并整理，得原方程的通解为2exyyxC．（5）原方程可化为2ddyyyxxx．令yux，有ddddyuuxxx，则原方程可进一步化为2dduuxuux，即211dduxux，两端积分，得1lnxCu，将yux代入上式，得9lnxxCy，代入初始条件11xy，得1ln11C．因此，所求方程满足初始条件的特解为1lnxyx．（6）原方程可写成22d1320dxxxyyy．令xuy，即xuy，有ddddxuuyyy，则原方程成为2d132()0duuuuyy，分离变量，得221dd1uuyuy，两端积分，得2ln(1)lnlnuyC，即21uCy，代入xuy并整理，得通解223xyCy．由初始条件01xy，得1C．于是所求特解为322yyx．5．设有连结原点O和(1,1)A的一段向上凸的曲线弧OA，对于OA上任一点(,)Pxy，曲线弧OP与直线段OP所围成图形的面积为2x，求曲线弧OA的方程．解设曲线弧的方程为()yyx，依题意有201()d()2xyxxxyxx，上式两端对x求导，11()()()222yxyxxyxx，即得微分方程4yyx，令yux，有ddddyuuxxx，则微分方程可化为yxO11A(1,1)P(x,y)xyy10d4duuxux，即d4duxx，积分得4lnuxC，因yux，故有(4ln)yxxC．又因曲线过点(1,1)A，故1C．于是得曲线弧的方程是(14ln)yxx．6．化下列方程为齐次方程，并求出通解：（1）(1)d(41)d0xyxyxy；（2）()d(334)d0xyxxyy．解（1）原方程可写成d1d41