高等数学A(一)复习资料及PPT_上海大学出版社2

§7.曲率一、弧微分在曲线上取基点M0(x0,y0),设y=f(x)在(a,b)内有连续导数，M(x,y)为曲线上任一点，xy0M0.x0M.x记弧长s=M0M规定依x增大的方向作为曲线的正向。(即M在M0右，S0)∵s随x的增大而增大,∴s=s(x)是x的单调增加函数。.sds及求其aby=f(x)设x有增量△x,相应有△s,在曲线上的对应点为M,M’,，对),(,baxxx则△s=MM’M0M’M0M－))()((xsxxs=xs作MM’x2=MM’xMM’MM’222MM’2∵,)()(22yxxy0M0.x0M.xxxsM’.xyy=f(x)∴=MM’MM’222)()(yx2)(xxs2])(1[2xyMM’MM’2s=s(x)∵s(x)为单增函数，∴s′(x)0,MM’])(1[)(22xyxsMM’时，且0xM’→M.MM'lim,lim0yxyx.12yxdsd,12yxdsd.12xdysd——弧微分公式MM’MM’=1,几何意义：xy0M0.x0M.xxxsM’xyy=f(x)，由xdysd21222)(1)(xdxdydsd.)()(22ydxddysdP弧微分ds表示了M点处切线段MP的长度。当切线正向与曲线方向一致，且与x轴夹角为α，则有,cossdxd.sinsdyddx当曲线方程为y=f(x)，当曲线y=f(x)是用参数方程.12xdysd表示，)()()(ttytx连续并不全为零时，且)(),(tt.)()(22tdttsd当曲线用极坐标方程)()(连续时，表示，且)(.)()(22dsdy有连续导数,二、曲率及其计算公式.在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度考察曲线的弯曲程度：曲线的弯曲程度与曲线端点处切线的转角s在AB相等的情况下，(1)不弯(2)弯曲(3)弯得厉害0成正比。AB(2)sAB(3)sAB(1)s1.与切线转角成正比M1M2M3对同一条曲线2.与曲线弧长S成反比曲线弯曲得越厉害。ABB´S’SA′sAB越小相同时，当SS即为曲线在点M处的曲率。s把比值称为AB的平均曲率。,0s当=kss0lim1.与切线转角成正比2.与曲线弧长S成反比.sddk存在时，＝即当sddss0lim=k考察直线的曲率。曲率为0的曲线是直线。1.考察半径为R的圆上各点处的曲率。例：ABsR圆上取两点A，B，AB,Rs,且ks,1RRRks1lim0即圆上各点处的曲率都等于其半径的倒数。2.,0ks=0，∴k=0..1R半径越大，弯曲越小。反之亦然。o曲率的计算公式(1)设曲线方程y=f(x)二阶可导，sddk由定义，sdxdxdd)(,tan的增量是切线斜率y,arctany;12yyxdd,12xdysd;112ysdxd22111yyy.)1(32yyk曲线方程y=f(x)二阶可导，拐点处的曲率为0。(1).)1(32yyk.00ky时，显然，(2)曲线方程由参数方程在实际问题中，.,1yky有近似式：当)()(tytx给出，.)(322k(3)曲线方程由极坐标方程给出，)(.)(232222k二阶可导）（)(),(tt二阶可导）（)(三、曲率圆与曲率半径设y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为k,在M点处凹的一侧的法线上取一点D，xy0.M.DkDM1使,以D为中心，ρ为半径作圆，则此圆称为曲线在点M处的曲率圆。k1就称为曲率半径。曲率圆与曲线在M点处不仅有相同的切线与曲率，还有相同的凹向。∴在M点附近常用曲率圆弧近似代替曲线弧。k1例题讨论例1：的曲率。求cxbxay2并问在哪点处曲率最大？其曲率半径是多少？解：,2,2aybxay32)1(yyk.])2(1[232bxaa，分子为常数则分母为最小时k最大。1)2(12bxa当02bxa最大。时kabx2abacab44,22顶点处曲率最大。,22akabx.21a例2：)0()cos1()sin(atayttax求摆线的曲率及在2t时的曲率半径。解：,)cos1(tax,sintax,sintay.costay322)(yxyxyxk232222sin)cos1(sinsincos)cos1(tatatatatata2323)cos1(21ta,2csc41ta.2sin4ta.222at§8.方程的近似解一、二分法二、切线法（自学）习3—7(A)课外作业1，4习3—7(B)1，3洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式型00,1,0型型0型00型Cauchy中值定理Taylor中值定理xxF)()()(bfaf0ngfgf1fgfggf1111取对数令gfy单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用一、主要内容