初中数学竞赛专题突破二次函数_二次方程_二次不等式

初中数学竞赛专题突破二次函数，二次方程，二次不等式初中数学竞赛专题突破二次函数，二次方程，二次不等式第1页，共15页1、初中数学竞赛专题突破二次函数，二次方程，二次不等式1、二次函数的三种表示法:一般式：2(0)yaxbxca两点式：12()()yaxxxx(12,xx是二次函数的两根，221244,22bbacbbacxxaa)顶点式：20()yaxxn，（其中02bxa244acbna）2、当0,()afx在区间[,]pq上的最大值M，最小值m，令01()2xpq.①若2bpa，则(),()fpmfqM②若02bpxa，则(),()2bfmfqMa③若02bxqa，则(),()2bfpMfma④若2bqa，则(),()fpMfqm3、二次方程2()0fxaxbxc的实根分布及条件新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）二次方程()0fx的两根中一根比r大，另一根比r小()0afr（2）二次方程()0fx的两根都大于2402()0bacbrraafr初中数学竞赛专题突破二次函数，二次方程，二次不等式初中数学竞赛专题突破二次函数，二次方程，二次不等式第2页，共15页2、（3）二次方程()0fx在区间(,)pq内有两根2402()0()0bacbpqaafqafp（4）二次方程()0fx在区间(,)pq内只有一根()()0fpfq，或()0fp(检验)或()0fq(检验)且检验另一根在(,)pq内成立（5）方程()0fx两根的一根大于p，另一根小于()0()()0afpqpqafq4、二次不等式恒成立问题1、恒成立问题一：当0a时，二次不等式()0fx在[,]pq恒成立,0)(,2pfpab或;0)(;2,0)2(,2qfpababfqabp或2、恒成立问题二：00()0000,0()00,0.aabfxcaabfxc恒成立或恒成立或例题：一、二次函数在区间上的最值例1．已知函数21sinsin42ayxax的最大值为2，求a的值．分析：令sintx，问题就转二次函数的区间最值问题．解：令sintx，[1,1]t，∴221()(2)24aytaa，对称轴为2at，（1）当112a，即22a时，2max1(2)24yaa，得2a或3a（舍初中数学竞赛专题突破二次函数，二次方程，二次不等式初中数学竞赛专题突破二次函数，二次方程，二次不等式第3页，共15页3、去）．（2）当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在[1,1]单调递增，由max111242yaa，得103a．（3）当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在[1,1]单调递减，由max111242yaa，得2a（舍去）．综上可得：a的值为2a或103a．例2、设a为实数，函数1)(2axxxf，Rx，求)(xf的最值。【分析】讨论二次函数的最值，一般是通过分析其单调性，比较各个单调区间极值的大小，然后确定函数在整个区间的最值。已知函数既含有参数又带绝对值，因此应首先考虑去掉绝对值在根据参数的取值进行分类讨论。不过我们可以顺便考察一下此函数的奇偶性。为非奇非偶函数。时，当为偶函数，时，当)(0)(012)(,1)(22xfaxfaaxafxaf【解答】)(1)(1)(22axaxxaxaxxxfⅠ、当ax时，axaxxxf43)21(1)(22ⅰ若21a，则)(xf在),a上的最小值为af43)21(ⅱ若,21a则)(xf在),a上单调递增，从而)(xf在),a的最小值为1)(2aafⅡ、当ax时，axaxxxf43)21(1)(22ⅰ若21a，则)(xf在a,(上单调递减，从而)(xf在a,(的最小值为1)(2aafⅱ若,21a则)(xf在a,(上的最小值为af43)21(综上，当21a时，)(xf的最小值为af43)21(；当2121a时，)(xf的最小值为1)(2aaf初中数学竞赛专题突破二次函数，二次方程，二次不等式初中数学竞赛专题突破二次函数，二次方程，二次不等式第4页，共15页4、当21a时，)(xf的最小值为af43)21(【评注】此问题的求解关键在于分类讨论，由此可见，分类思想是解决一大类复杂问题或者情况多样时的重要方法。例3已知二次函数baxaxxf2)(2的定义域为[0，3]，而值域为[1，5]，求a、b的值.[解析],610)3(,)0(,1)1(bfbafabaaf（1）当,0时a;,92161051)3()]([5)0()]([minmax不合ababafxffxf（2）当,0时a①当,322310时即aa;11156101)1(5)3(baababaaff②当;,411151)1(5)0(,32313123不合时即aababaaffaa③当,31031时即aa;943,92161051)3(5)0(bababaff综上，.943,921baba或例4设变量x满足x2+bx≤-x(b-1)，并且x2+bx的最小值是21，求b的值。【解】由x2+bx≤-x(b-1)，得0≤x≤-(b+1).ⅰ)-2b≤-(b+1)，即b≤-2时，x2+bx的最小值为-214,422bb，所以b2=2，所以2b（舍去）。ⅱ)-2b-(b+1)，即b-2时，x2+bx在[0，-(b+1)]上是减函数，所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-21,b=-23.综上，b=-23.例5、21321)(2xxf在[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b]。【分析】该二次函数的参数出现在区间上，因而求解可以从两种不同的途径完成。思路一：根据极值点与区间端点的关系入手。初中数学竞赛专题突破二次函数，二次方程，二次不等式初中数学竞赛专题突破二次函数，二次方程，二次不等式第5页，共15页5、思路二：以最值的可能点来进行分类讨论。【解答】解法一：函数)(xf关于y轴对称，分三种情况讨论区间[a,b]。（1）若ba0，)(xf在[a,b]上单调递减，故,2)(,2)(abfbaf于是有21321221321222baab，解之得，[a,b]=[1，3]（2）若ba0，)(xf在[a,0]上单调递增，在[0,b]上单调递减，因此)(xf在x=0处取最大值2b，在x=a或x=b处取最小值2a，故413,2132bb，由于a0，又0323921341321)(2bf，故)(xf在x=a处取最小值2a，即2132122aa，解得172a，于是得[a,b]=[413,172]（3）当0ba时，)(xf在[a,b]上单调递增，故bbfaaf2)(,2)(，即213212,21321222bbaa，由于方程02132212xx的两根异号，故满足0ba的区间不存在。综上所述，所求区间为[1，3]或[413,172]。解法二：以最值的可能点分类。（1）)()(),0()(minmaxafxffxf，代入，解得[a,b]=[413,172]（2）)()(),0()(minmaxbfxffxf，代入，无解，不符合，舍去。（3）)()(),()(minmaxbfxfafxf，代入，解得[a,b]=[1，3]（4）)()(),()(minmaxafxfbfxf，代入，无解，不符合，舍去。综上所述，所求区间为[1，3]或[413,172]。例6已知311a,若1x2ax)x(f2在区间]3,1[上的最大值为)a(M,最小值为)a(N,令)a(N)a(M)a(g.(1)求)a(g的函数表达式；(2)判断)a(g的单调性,并求出)a(g的最小值.初中数学竞赛专题突破二次函数，二次方程，二次不等式初中数学竞赛专题突破二次函数，二次方程，二次不等式第6页，共15页6、解：(1)函数1x2ax)x(f2的对称轴为直线a1x,而3a11,1a31∴)x(f在]3,1[上a11)a1(f)a(N①当2a11时，即1a21时，5a9)3(f)a(M②当23a1时，即21a31时，1a)1(f)a(M21a31,2a1a1a21,6a1a9)a(N)a(M)a(g(2)上单调递减，上单调递增，在在)21,31[]1,21[)(ag21)21(gmin)a(g.恒成立问题转化为求函数的最值：例7解答下列问题：（Ⅰ）已知二次函数,92)1(42)(22aaxaxxf（1）若在区间[－1，1]内至少存在一个实数m，使得,0)(mf求实数a的取值范围；（2）若对区间[－1，1]内的一切实数m都有,0)(mf求实数a的取值范围.[解答])(xf的对称轴,152)1(,120aafax而;763)1(,76)1(22aaafaaf（1）命题]),1,1[(,0)]([maxxxf①当0)1()]([,1,0max0fxfax时即;15,3501522aaaa得②当;71,710760)1()]([,1,02max0aaaafxfax得时即综上，a的取值范围是（－5，7）.（2）命题]),1,1[(0)]([minxxf①当,710)1()]([,0,1min0afxfax时即得;01a初中数学竞赛专题突破二次函数，二次方程，二次不等式初中数学竞赛专题突破二次函数，二次方程，二次不等式第7页，共15页7、②当0)1()]([,20,11min0afxfax时即,3303330307632aaa得;20a③当0)1()]([,2,1min0fxfax时即;32,35aa得综上，a的取值范围是（－1，3）.二、一元二次方程根的分布例1已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://