Diracδ函数及其性质

一、Diracδ函数1°Diracδ函数的定义2°Diracδ函数可以用一些连续函数的序列极限来表示3°Diracδ函数的性质4°复合函数形式的Diracδ函数——δ[h(x)]5°二维Diracδ函数MMQQI激光脉冲及其它小光源早在一个多世纪前，物理学家就感到有必要引入一个数学符号来描述质点、点电荷、点光源及又窄又强的电脉冲等一类物理量，当时用于描述这种物理量的数学符号被称之为‘冲击脉冲符号’。1947年，英国物理学家P.A.M.Dirac在他的著作《PrincipleofQuantumMechanics》中正式引入δ(x)，并称它为‘奇异函数’或‘广义函数’。δ(x)函数之所以被称为‘奇异函数’或‘广义函数’，原因在于：一、它不象普通函数那样存在确定的函数值，而是一种极限状态，而且它的极限也和普通函数不同，不是收敛到定值，而是收敛到无穷大；二、函数不象普通函数那样进行四则运算和乘幂运算，它对别的函数的作用只能通过积分来确定。1°Diracδ函数的定义对于自变量为一维的δ函数——δ(x)来说，它满足下列条件：1)(000)(dxxxxx，，(1)这表明，δ(x)函数在x≠0点处处为零，在x=0点出现无穷大极值，x=0点又称为奇异点。但是，尽管δ(0)趋近于无穷大，对它的积分却等于1，即对应着δ函数的‘面积’或‘强度’等于1，所以δ(x)又叫做单位脉冲函数。很显然，等式：)0()()(fdxxxf(2)成立。f(x)是定义在区间(-∞，∞)上的连续函数。在光学里，δ(x)函数常常用来表示位于坐标原点的具有单位光功率的点光源，由于点光源所占面积趋近于零，所以在x=0点功率密度趋近于无穷大。在(1)和(2)中变换原点，得到：)()()(000)(afdxaxxfaxaxax，，(3)其中a为任意常数。因此用δ(x-a)乘x的函数，并对所有x积分的过程，等效于用a代替x的过程。*定义的另外形式：2°δ(x)可以用一些连续函数的序列极限来表示1)、归一化的Gauss分布函数G(x)：)2exp(21)(22xxG(4)该函数具有如下的性质：22)(1)(dxxGxdxxG(5)当σ→0时，G(x)就趋向于δ(x)，即：)]2exp(21[lim)(lim)(2200xxGx(6)1)(000)(dxxxxx，，(1))()()(000)(afdxaxxfaxaxax，，(3)证明：由(4)式可以看出，当x=0，σ→0时，)]2exp(21[lim)(lim2200xxG而当x≠0，σ→0时，0)]2exp(21[lim)(lim2200xxG由公式(5)得：1)(lim)(lim00dxxGdxxG所以由公式(6)所定义的函数满足δ(x)函数的条件(1)式。可见归一化的Gauss函数的序列极限可以表示δ(x)函数。2)、函数xxsinxxsinlim的极限也满足δ(x)函数的条件：xxxsinlim)((7)其中α0。证明：当x=0时，lim]sin[lim]sin[limxxxx当x≠0时，sin(αx)/(αx)以周期2π/α振荡，振幅随着|αx|的增加而减小。所以，当α→∞时，sin0xx0]sin[lim]sin[limxxxx于是有：当α0时，查找定积分表可得到：dxxxsin所以有：1sinlimsinlimdxxxdxxxxxsinxxsinlim的极限根据上述讨论可知，函数满足δ(x)函数的条件，可以表示Diracδ(x)函数，即(7)式成立。3)、函数22sinxx的极限22sinlimxx也满足δ(x)函数的条件，即：22sinlim)(xxx(8)其中α0。证明：当x=0时，lim]sin[lim]sin[lim222xxxx当x≠0时，sin(αx)/(αx)以周期2π/α振荡，振幅随着|αx|的增加而减小。所以：当α→∞时，sin(αx)/(αx)→00]sin[limlim]sin[lim]sin[lim2222xxxxxx于是有：查找定积分表可得到：dxxx22sin于是有：1)()()(sinlim1sinlimsinlim222222xdxxdxxxdxxx根据上述讨论可知，函数22sinxx的极限22sinlimxx可以表示Diracδ(x)函数，即式(8)成立。22sinlim)(xxx(8)4)、阶跃函数的导数也可以表示Diracδ(x)函数。根据第一次课所讲的内容可知，阶跃函数step(x)也称为Heaviside函数，也可以用H(x)表示，其定义如下：axaxaxaxH，，，2101)((9)函数H(x-a)对x的导数也满足δ(x)的条件，即：)()(axHdxdx(10)很容易看出，当x≠a时，0lim0dxdHxHx而当x=a时，dxdHxHx0lim利用分步法计算积分，有：aaafxffdxxffdxxfaxHxfaxHdxaxHdxdxf)(|)()()(')()(')(|)()()]()[(根据以上讨论，再结合式(3)可知，Heaviside函数H(x-a)对x的导数可以表示Diracδ(x)函数，即式(10)成立。证明：3°Dirac函数的性质性质1)、积分性质：δ函数的定义式：1)(dxx1)(0dxxx即表明了δ函数的积分性质，这个积分也可称之为δ函数的‘强度’。性质2)、筛选性质：式(2)表明了δ函数的筛选性质。)()()(afdxaxxf则是其推论。)0()()(fdxxxf(2)而式(3)中的由此得出推论：性质3)、坐标缩放性质，设a为常数，且不为零，则有：)0(||)()(aaxax推论1：δ(-x)=δ(x)说明δ函数具有偶对称性。推论2：)0)((||)(axaax性质4)、δ函数的乘法性质：如果f(x)在x0点连续，则有：)()()()(000xfxxxxxf由此得出推论：xδ(x)=0和)()(xxdxdx)()()(badxbxxa4°复合函数形式的δ函数——δ[h(x)]设方程h(x)=0有n个实数根x1，x2，…，xn，则在任意实根xi附近足够小的邻域内有：h(x)=h'(xi)(x-xi)其中h'(xi)是h(x)在x=xi处的一阶导数。如果h'(xi)≠0，则在xi附近可以写出：|)('|)(iixhxxδ[h(x)]=δ[h'(xi)(x-xi)]=上式表明，δ[h(x)]是由n个脉冲构成的脉冲系列，各个脉冲位置由方程h(x)=0的n个实根确定，各脉冲的强度则由系数|h'(xi)|-1来确定。若h'(xi)在n个实根处皆不为零，则有：niiixhxxxh1|)('|)()]([h'(xi)≠0)0)](()([21)(22aaxaxaax))](()([||1)])([(babxaxbabxax)()(||2xxxnnxx)(1)][sin(推论：5°二维函数δ函数*1、直角坐标系的情况二维δ函数表示为δ(x,y)，它是位于xy平面坐标原点处的一个单位脉冲。二维δ函数是可分离变量函数，即有：δ(x,y)=δ(x)·δ(y)二维δ函数的性质以及其证明过程与一维δ函数的情形相同。*2、极坐标系的情况δ(x，y)→δ(r，θ)，必须要保证：1)、脉冲位置相同；2)、二者强度(即曲面下‘体积’)相同。只有这样，坐标变换才是等价的。直角坐标系(x，y)极坐标系(r，θ)δ(x，y)δ(r)δ(x-x0，y)δ(r-x0，θ)δ(x，y-y0)δ(x+x0，y)δ(r-x0，θ-π)δ(x，y+y0)δ(x-x0，y-y0))2,(0yr)23,(0yr),(00rr几个二维δ函数在两种坐标系中的位置关系20200yxr)arctan(000xy表1考虑到脉冲强度的对应关系，下面给出两个二维δ函数坐标变换的例子：显然，δ(x，y)和δ(r)的位置相同。)(1),(rryx1),(dxdyyx1)(21)(120020ddrrrdrdrr例1)、可见，脉冲位置和强度都相同，所以坐标变换成立。rr)(曲面下的体积为：而证明：δ(x，y)曲面下的体积为：例2)、),(1),(0000rrryyxx其中，20200yxr)arctan(000xy显然，δ(x-x0，y-y0)与δ(r-r0，θ-θ0)的位置是相同的。1),(00dxdyyyxx而δ(r-r0，θ-θ0)曲面下的体积为：1)()()()(12000020000ddrrrdrdrrrr可见强度也相同，所以坐标变换成立。证明：δ(x-x0，y-y0)曲面下的体积为：