线性规划求最值问题

线性规划相关问题xyo基本概念：z=2x+y满足约束条件的解(x,y)可行解组成的集合使目标函数取得最值的可行解目标函数，线性目标函数1255334xyxyx线性约束条件：最优解可行解：可行域:（阴影部分）最优解：线性规划问题：x-4y+3=03x+5y-25=0x=12x+y=ｚ1xyo可行域A（5，2）B（1，1）即不等式组的解1.z=Ax+By(A,B为常数)可化为表示与平行的一组平行线,其中为截距。BzxBAyBzxBAy2.表示定点P(x0,y0)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率00xxyyz3.表示定点Q（x0,y0)到可行域内的动点N(x,y)的距离或距离平方。20202020)()()()(yyxxzyyxxz或目标函数的常见类型一、最值模型1AzAxByyxzBB即表示一组平行线，1AzBB其中为斜率，为纵截距，当B0时,当直线向上平移时,所对应的截距随之增大;z.---------向下----------------------------------减小.Z.当B0时,当直线向上平移时,所对应的截距随之增大，但z.---------向下----------------------------------减小，但z.注意：斜率大小及截距符号。增大减小减小增大解下列线性规划问题：1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：11yyxxyxOyABCy=xx+y=1y=-12x+y=011yyxxyB:(-1,-1)C:(2,-1)Zmin=-3Zmax=3目标函数：Z=2x+y解线性规划问题的步骤：（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案。（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；02.,01满足xxyyxy求z=x-y的最值O1xyAB(3)平移直线yx(4)直线过点时纵截距-z最小，z最大;过点时纵截距-z最大，z最小.(1)画区域(2)1化为，斜率为，纵截距为-的一组平行线zxyyxzzlAB交点A(1,0),B(0,1)maxminZ101,Z011.注意：目标函数化为斜截式后，分析斜率大小；z的系数符号。01.,2323满足xxyxyxy求z=x-y的最值解：化为，与直线平行,纵截距为-zxyyxzyxz直线过点时z值最大;过点时z值最小.OABAB解方程组得点A(1,1),B(0,3)maxmin110,033zz30z体验:二、最优解一般在可行域的顶点处取得．三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关，而且还与直线Z=Ax+By的斜率有关．一、先定可行域和平移方向，再找最优解。课题导入目标引领1.会利用线性规划求解最值回答下列常见代数式的几何意义：(1)x2＋y2____________________________；（2）x－a2＋y－b2_______________________；（3）yx__________________________；（4）y－bx－a________________________________.独立自学表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；表示点(x，y)与(a，b)的距离表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率43,13525.1.≤≥例.已知、满足≤xyxyxyx(1)若z=2x+y,求z的最值.(2)若z=2x-y,求z的最值.(3)若z=x2+y2,求z的最值.(4)若求z的最值.,yzx551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC(5)求可行域的面积和整点个数.(6)z=mx+y,m0在可行域内取得最大值的最优解有无数个,求m的值.(1)若z=2x+y,求z的最值.43,13525.1.≤≥例.已知、满足≤xyxyxyx(2)若z=2x-y,求z的最值.551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABCmaxZ25212,minZ2113.maxZ2528,minZ214.42.4.4.052minoAkZ(3)若z=x2+y2,求z的最值.(4)若求z的最值.,yzx551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC22min()xy22112,22max()xy225229,min2,zmax29.zmax4.44.4,1OCzk43,13525.1.≤≥例.已知、满足≤xyxyxyx(5)求可行域的面积和整点个数.551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC1||2SBCh13.446.8.2422111043,13525.1.≤≥例.已知、满足≤xyxyxyx(6)z=mx+y,m0在可行域内取得最大值的最优解有无数个,求m的值.551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABCymxz解：当直线y=-mx+z与直线AC重合时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z＝y＋mx取得最大值.而直线AC的斜率为3,53,5m35m即.变式：当且仅当在A（5,2）处有最大值，求m的范围222xy求不等式所表示的平面区域的面积？6(2,2)2(2,2)2222(2,2)2(2,2)xyxyxyxyxyxyxyxyxy分析：例2如图，已知△ABC中的三顶点，A(2,4)，B(-2,3)，C(1,0)，点p(x,y)在内部及边界运动.①z=x+y在_______处有最大值____，在_______处有最小值___；②z=x-y在_______处有最大值____，在_______处有最小值_______；YB(-2,3)C(1,0)1-5A(2,4)61线段BCo11-1-1-22323-2ACCB11Yxo11-1-1-22323-2ACCB11当堂诊学练习1：练习2：已知求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(3)212xyz的范围．.032,04,02yxyxyx;15maxz;9516minz.,57,z203500011()()42xyxyxyxyxyz已知实数、满足，则＝的最小值为______．161拓展延伸1、想一想求点的轨迹方程还有其他方法吗？2、完成课时作业1、2、5、8强化补请