误差及误差分析数据的误差处理

数据的误差处理王晓冬讲师一、测量及测量的分类1、概念测量就是以确定被测量对象的量值为目的的所有操作。记录下来的测量结果应该包含测量值的大小和单位，二者缺一不可。2、测量的分类按测量方式分：直接测量和间接测量直接测量：待测物理量的大小可以从选定好的测量仪器或仪表上直接读出来的测量。相应的待测物理量称为直接测量量。间接测量：待测物理量需根据直接测量的值，通过一定的函数关系，才能计算出来的测量过程。相应的待测量称为间接测量量。按测量条件分：等精度测量和不等精度测量等精度测量：在相同的测量方法和条件下，多次测量同一个物理量。不等精度测量：在不同的测量方法和条件下，多次测量同一个物理量。二、误差真值：被测量物理量所具有的、客观的、真实的数值，记为。0x测量值：通过测量所获得的被测物理量的值，记为。x1、真值、测量值、平均值（最佳估计值）平均值（最佳估计值）：在相同条件下，对某物理量进行n次测量，,这n个测量结果称为一个测量列，取这n次独立测量值的算术平均值，记为。即12,,nxxxx11niixxn注：在处理测量数据时常用物理量的平均值代替其真值。2、误差(1)概念：测量值与真值之差定义为误差，记为，即i0iixx(3)分类：系统误差和随机误差绝对误差真值(2)表示方法：绝对误差=测量值—真值相对误差=×100％系统误差概念：在相同的条件下，多次测量同一物理量时，若误差的大小及符号都保持不变或按一定规律变化，这种误差称为系统误差。特征：系统误差表现出恒偏大、恒偏小或周期性的特点。增加测量次数系统误差不能减少。来源：仪器、理论、观测等处理方法：修正已定系统误差；随机误差概念：在相同条件下，多次测量同一物理量时，若误差的大小和符号都不确定，这种误差称为随机误差。特征：随机误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化，随机误差使测量值围绕某一平均值上下涨落。来源：环境、观测者等。处理方法：取多次测量的平均值有利于消减随机误差。测量的精密度、准确度和精确度精密度：表示测量结果中的随机误差大小的程度。精密度高即数据的重复性好，随机误差小。准确度：表示测量结果中的系统误差大小的程度。准确度高即测量结果接近真值的程度高，系统误差小。精密度准确度精确度精确度：表示测量结果的重复性及接近真值的程度。。三、误差的估算定义：测量值与相同条件下多次测量所得平均值的差值称为偏差或残差，记为1、偏差（残差）说明：一般情况下，我们所说的误差就是指偏差。ixiiixxx2、(实验)标准偏差21()()1niixxsxn21()()()(1)niixxsxsxnnn算术平均值的实验标准偏差反映了测量结果的不确定度大小。3、算术平均值的实验标准偏差x四、测量结果的评定(1)不确定度的概念：用于表示测量结果可能出现的具有一定置信水平的误差范围的量，用u表示。•不确定度表示一个区间，被测量的真值以一定的概率存在于此区间中，此概率称为置信率，此区间称为置信区间。(而误差表示测量值偏离真值的大小，是个确定的值。)•不确定度可以根据实验、资料、经验等进行评定，从而可以定量确定。（而误差无法计算）1、不确定度的评定方法(2)对概念的说明：不确定度的数值一般包含几个分量，按不确定度的数值评定方式，可分为A类不确定度——用统计方法确定的分量B类不确定度——用其他方法确定的分量要计算不确定度，首先要求出所有的A类和B类分量，然后再合成不确定度。引言：不确定度的分量2、不确定度的计算1、直接测量量的A类标准不确定度的计算A类标准不确定度用一个测量列的算术平均值的实验标准偏差表示，记为，即使用此式时，测量次数n应充分多，一般认为n应大于6。x)(xS21()()()(1)niiAxxuxsxnn()Aux说明2、直接测量量的B类标准不确定度的计算如果已知被测量的测量值分散区间的半宽为a，且落在至区间的概率为100%，通过对其分布规律的估计可得出B类标准不确定度u为：是包含因子，取决于测量值的分布规律。ix()xa()xa()Bauxkk(1)如果检定证书、说明书等资料明确给出了不确定度及包含因子时，则，B类标准不确定度为()Uxk()aUx()()BaUxuxkk【例题】校准证书上给出标称值为1kg的砝码质量，包含因子，（扩展）不确定度为U=0.24mg，由此可确定砝码的B类标准不确定度100000032.mg3k0240083().().BUmummgk包含因子k和半宽a的确定方式为：说明(2)在缺乏任何信息的情况下，一般使用均匀分布，,而a则取仪器的最大允许误差（误差限）,所以B类标准不确定度为3k()x()()3Baxuxk直接测量量的B类标准不确定度的估算流程图()0Aux(1)当进行的测量只有一次时，取3、直接测量量的合成标准不确定度A类和B类不确定度的合成标准不确度：()cux22()()()cABuxuxux(2)如果一个测量量的B类不确定度由多个部分构成，则B类不确定度的合成不确定度为2212()()()...BBBuxuxux说明【例题】用螺旋测微计测某一钢丝的直径，6次测量值分别为：0.245,0.255,0.249,0.247,0.253,0.251;单位mm，已知螺旋测微计的仪器误差为Δ仪=0.004mm，请给出测量的合成标准不确定度。解:测量最佳估计值1(0.2450.2550.2490.2470.2530.251)0.2506ymmA类标准不确定度21()()0.0015mm(1)niiAyyusynnB类标准不确定度0.0040.002333Bumm仪合成不确定度22()0.0028mmcABuyuuiy4、间接测量量的不确定度计算间接测量量，其中为直接测量量。12(,,)NYfXXX12,,NXXXY的估计值y的标准不确定度，要由的标准不确定度适当合成求得，称为估计值y的合成标准不确定度,记为。()cuy12,,NXXX【例题】某实验的测量式为，为直接测量量，其中，，则间接测量量的合成标准不确定度为1243YXX12,XX1()0.03cuxg2()0.05cuxg22()(40.03)(30.05)0.19cuygg12123(,,)NYfXXXaXbXcX(1)对于形如的函数形式（和差关系）,合成标准不确定度的计算方法为:222123123()()()()...ccccfffuyuxuxuxxxx(2)对于形如的函数形式（积商关系），则先求其相对合成标准不确定度：NpNppNXXcXXXXfY212121),,(说明：对于被测量Y的平均值，按如下方式计算：y12(,,)yfxx合成标准不确定度()()creluyyuy222312123123()()()()()...crelcccuypppuyuxuxuxyxxx【例题】圆柱体的体积公式为。设已经测得，，写出体积的相对合成标准不确定度表达式。214Vdh)(duddc)(huhhc解：此体积公式形如其中，，，。1Xd2Xh12p21p121212(,,)NpppNNYfXXXcXXX体积的相对合成标准不确定度表达式为22()21()()()cccreluVuVuduhVdh222312123123()()()()()...ccccrelpuyppuyuxuxuxyxxx根据5、扩展不确定度的计算将合成不确定度乘以一个包含因子m，即得扩展不确定度,用U表示，即)(yuc()cUmuy在物理实验课程中，包含因子m一般取2，即2()cUuy此时置信率约为95%说明五、测量结果的表达物理实验中，用扩展不确定度报告测量结果单位单位()yyUy()yyUy1、表达式中平均值、不确定度、单位三者缺一不可。2、在结果表达式里，按国家技术规范，最多取两位有效数字，两位一位皆可。在学生实验中，可以只取一位有效数字，多余的位数按数字修约(三舍四入）的原则进行修约。()Uy说明3、平均值的最后一位与不确定度的最后一位必须对齐，多余数字按4舍5入规则进行取舍。例如：=242.63cm3，uc(v)=0.54cm3，不确定度保留一位，V=(242.6±0.6)cm3。不确定度保留了两位，V=(242.63±0.54)cm3。V数据处理的步骤X1x11x12x13x14x15x16X2x21x22x23x24x25x2612(,)YfXX实验测量式1.由测量数据计算直接测量量的最佳估计值12,xx2.由测量式计算间接测量量的最佳估计值22(,)yfxx(1)计算X1的A类标准不确定度211111()()()(1)niiAxxuxsxnn(2)计算X1的B类标准不确定度1()Bauxk(3)计算X1的合成标准不确定度22111()()()ABuxuxux(4)重复(1)--(3)步骤计算X2的合成标准不确定度2()ux实验数据3.计算直接测量量的不确定度数据处理的步骤()2()cUyuy5.计算扩展不确定度4.计算间接测量量的不确定度22121212()()()()creluyppuyuxuxyxx()()creluyyuy积商形式221212()()()cffuyuxuxxx和差形式6.写出测量结果表达式()yyUy单位()yyUy单位或【例题】用单摆测重力加速度的公式现用最小读数为1/100s的电子秒表测量周期T五次，其周期的测量值为2.001，2.004，1.997，1.998，2.000（单位：s）；用Ⅱ级钢卷尺测摆长L一次，L=100.00cm。试求重力加速度g及合成不确定度，并写出结果表达式。224TLg)(guc(0.30.2)Lmm注：每次周期值是通过测量100个周期获得，每测100个周期要按两次表，由于按表时超前或滞后造成的最大误差是0.5s；Ⅱ级钢卷尺测量长度L的示值误差为（L是以米为单位得到的数值），由于卷尺很难与摆的两端正好对齐，在单次测量时引入的误差极限为±2mm。1.计算直接测量量的最佳估计值T的估计值：5112.0012.0041.9971.9982.0002.00055iiTTsL的估计值：1.0000Lm2.计算间接测量量g的最佳估计值22222443.14161.00009.86972.000LgmsT3.计算直接测量量的不确定度（1）计算摆长L的测量不确定度1()0.5()0.2933BLuLmm仪相应的不确定度为()2Lmm对不准测量时卷尺不能对准L两端造成的仪器误差2()2()1.233BLuLmm对不准相应的不确定度为222212()()()0.31.21.2cBBuLuLuLmmL的合成不确定度为()0.30.210.5Lmm仪仪器的示值误差L的相对不确定度rel1.2()0.00121000cu(L)uLL摆长只测了一次，只考虑B类不确定度,有两个分量。521()()()0.00125(51)iiATTuTsTs（2）计算周期T的测量不确定度T的A类不确定度(T)仪(T)按T的B类不确定度有两个分量，一个与仪器误差对应，一个与按表超前或滞后造成的误差对应1()BuT2()BuT22222()()()0.00120.00290.0031cABuTuTuTs因比小得多，可略去，故合成不确定度为rel()0.0031()0.00162.000cuTuTTT的相对不确定度11000.01100()0.00005833