4.3 协方差.相关系数与矩

相关系数与矩电子科技大学20.2.7§4.3协方差.相关系数与矩D(X＋Y)=D(X)＋D(Y)+2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}D(X－Y)=D(X)＋D(Y)－2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}当研究的问题涉及多个随机变量的时候,变量与变量之间的关系,是必须关注的一个方面.本节介绍的协方差、相关系数就是描述随机变量之间相互关系的数字特征.相关系数与矩电子科技大学20.2.7定义4.3.1若E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}存在，称Cov(X,Y)=E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}为随机变量(X,Y)的协方差.有D(X)=Cov(X,X)；一.协方差D(X士Y)=D(X)+D(Y)士2Cov(X,Y)协方差的性质：1.Cov(X,Y)＝Cov(Y,X)；相关系数与矩电子科技大学20.2.73.Cov(X1+X2,Y)＝Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).常用计算公式：cov(X,Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)例4.3.1)]}()][({[),(2YbEbYXaEaXEbYaXCov）证)]}()][({[YEYXEXabE).,(YXabCov例4.3.22.Cov(aX,bY)＝abCov(X,Y),a,b是常数；相关系数与矩电子科技大学20.2.7二、相关系数定义4.3.2设二维随机变量X,Y的D(X)0,D(Y)0,称)()(),(YDXDYXCovXY为随机变量X与Y的相关系数.注1）ρXY是一无量纲的量.2）])()()()([YDYEYXDXEXEXY),(][****YXCovYXE标准化随机变量的协方差相关系数与矩电子科技大学20.2.7性质设随机变量X,Y的相关系数ρ存在，则1）|ρ|1;2）|ρ|＝1X与Y依概率为1线性相关.即),0(,,存在证明1}{XYP相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关程度的数字特征.练习将一枚硬币重复抛掷n次,X,Y分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则ρXY＝－1相关系数与矩电子科技大学20.2.7注1若随机变量X,Y的相关系数ρXY存在,2）ρXY＝1，则α0称X,Y负相关；1）若ρXY＝1，3）ρXY＝0，称X,Y不相关.注2ρXY＝0仅说明X,Y之间没有线性关系，但可以有其他非线性关系.参见讲义P114例4.4.41}{XYP中的α0,称X,Y正相关；相关系数与矩电子科技大学20.2.7定理4.3.1若随机变量X与Y相互独立，则X与Y不相关，即有ρXY＝0.注2若(X,Y)~N(μ1,σ21;μ2,σ22;ρ),则X,Y相互独立ρXY＝0.注1此定理的逆定理不成立,即由ρXY＝0不能得到X与Y相互独立.例4.3.3参见P116例4.4.6例4.3.5例4.3.4相关系数与矩电子科技大学20.2.7定义4.3.3设n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的协方差)(ijcC均存在,称矩阵为(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵.Cij=Cov(Xi,Xj)nnnnnncccccccccC...............212222111211相关系数与矩电子科技大学20.2.7其中有Cov(X,Y)=E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}D(X)=cov(X,X)三、协方差矩阵的性质;,...,2,1),(1niXDciii）例4.3.6;,...,2,1,,2njiccjiij）njiccjjiiijc1,2,...,,,42）3）C是非负定矩阵；对称阵相关系数与矩电子科技大学20.2.7四.矩定义4.3.4设X为随机变量,若E(|X|k)+∞,称γk=E(Xk)k=1,2,3…..为X的k阶原点矩.称αk=E(|X|k),k=1,2,3…..为X的k阶绝对原点矩.定义4.3.5设X为随机变量,若E[|X－E(X)|k]+∞,称μk=E{[X－E(X)]k}k=1,2,3…..为X的k阶中心矩.相关系数与矩电子科技大学20.2.7称βk=E[|X－E(X)|k]k=1,2,3…..为X的k阶绝对中心矩.其中D(X)=E{[X－E(X)]2}=E(X2)－[E(X)]2注意到μ2=D(X),γ1=E(X),γ2=E(X2)}]){[(})]()({[)(11kkkkXEXEXEXEXE122更一般的,因μ1=0,可得的关系：与kk相关系数与矩电子科技大学20.2.7kiikiikXEC01])[(kiikiikC0数学期望线性性质kikikikikkC011同理随机变量的矩是数！！！相关系数与矩电子科技大学20.2.7例4.3.1(X,Y)在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布.,0;1,1),(22其它yxyxf故Cov(X,Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=E(XY）求Cov(X,Y).解因,012)()(112dxxxdxxfxXEX122yxdxdyxy相关系数与矩电子科技大学20.2.7.0cossin110203drdr例4.3.2设随机变量相互独立同分布，且其方差为，令)1(,,,21nXXXn02niiXnY11计算协方差).,(1YXCov解相互独立，故，，因nXXX21),,3,2(,0)()()(),(111niXEXEXXEXXCoviii相关系数与矩电子科技大学20.2.7),(1),(111niiXXCovnYXCovniiXXCovnXXCovn2111),(1),(1.)(121nXDn相关系数与矩电子科技大学20.2.71）||1),cov(2)()()(0YXYDXDYXD证明：XY22)1(2XY,01XY.1XY定理证明2）|ρ|＝1X与Y依概率为1线性相关，即.1}{),0(,XYP使相关系数与矩电子科技大学20.2.7必要性证明：）有时由11.0)(**YXE,0)(YXD）得由方差的性质4,1)}({YXEYXP.1)()()()()()(YEXEXDYDXXDYDYP－,1}0{YXP即.1同理可证对或者相关系数与矩电子科技大学20.2.7充分性,1}{XYP若,)()(XEYE),()(2XDYD)]}()][({[),(YEYXEXEYXCov)]}()][({[XEXXEXE).(XD.1)()(),cov(2YDXDYXXY相关系数与矩电子科技大学20.2.7例4.3.3(X,Y)在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布.,0;1,1),(22其它yxyxf其它,0;11,12122121)(xdyfxxxxX.,0;11,12)(2其它同理yyyfY相关系数与矩电子科技大学20.2.7,0)(,0)(YDXD可以验证已计算得Cov(X,Y)=0.随机变量不相关不一定相互独立!),()(),(XyfxfyxfY当x2+y2≤1,.0XY从而相关系数与矩电子科技大学20.2.7例4.3.4设二维随机变量（X,Y）在矩形G={(x,y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布．记.2,1;2,0.,1;,0YXYXVYXYXU求ρUV.GxyO)()(),cov(VDUDVUUV分析)()()()()(VDUDVEUEUVE相关系数与矩电子科技大学20.2.7关键是求E(UV)可先求出UV分布律.解由已知可得.,0;),(,2/1),(其它Gyxyxf)(43}P{1}P{0)(2UE/YXYXUE,16316943)]([)(D(U)22UEUE,4/1)(,2/1)(VDVE同理GxyO相关系数与矩电子科技大学20.2.7的分布律为UVVYXYXUV.2,1;2,0,2/1)()(VEUVE故)()()()()()()()cov(VDUDVEUEUVEVDUDU,VρUV3341163214321相关系数与矩电子科技大学20.2.7例4.3.5某集装箱中放有100件产品,其中一、二、三等品分别为80、10、10件.现从中任取一件，记21)3,2,1(.,0;,1XXiiiX求其它等品抽到)()()()()()()(),cov(212121212121XDXDXEXEXXEXDXDXXXX关键是求E(X1X2)求出X1X2分布律需求相关系数与矩电子科技大学20.2.7解由已知可得16.0)8.01(8.0)(1XD8.0}{1}{0)(1抽到一等品抽到非一等品PPXE09.0)(1.0)(22XDXE同理.,0;,121其它等品抽到一等品同时抽到二XXE(X1X2)=1×P{X1X2=1}＋0×P{X1X2=0}=1×0＋0×1=0相关系数与矩电子科技大学20.2.732)()()()()()()(),cov(212121212121XDXDXEXEXXEXDXDXXXX相关系数与矩电子科技大学20.2.7例4.3.6设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为求:(X,Y)的协方差矩阵。分析计算(X,Y)的协方差矩阵,本质上就是计算X、Y的方差和协方差..,0);1(20,10,6),(其它xyxxyyxf相关系数与矩电子科技大学20.2.7解先计算E(X),E(Y)dxdyyxxfXE),()()(xydyxdx1202106521121022dxxx)(dxdyyxyfYE),()()(xdyxydx120210654116103dxxx)(相关系数与矩电子科技大学20.2.7为计算方差,再计算E(X2),E(Y2)dxdyyxfxXE),()(22)1(203106xydyxdx51)1(121023dxxxdxdyyxfyYE),()(22)1(203106xdyxydx54)1(24104dxxx相关系数与矩电子科技大学20.2.7得到22)]([)()(XEXEXD251)52(51222)]([)()(YEYEYD254)54(542为计算协方差,计算E(XY)dxdyyxxyfXYE),()()1(2022106xdyyxdx154)1(161032dxxx相关系数与矩电子科技大学20.2.7得到7545452154Cov(X,Y)于是,(X,Y)的协方差矩阵为相关系数与矩电子科技大学20.2.7例4.3.7设随机变量X、Y相互独立,X~N(1,2),Y~N(0,1),求Z=2X－Y+3的概率密度。解Z是相互独立的正态分布随机变量X、Y的线性组合,故Z也服从正态分布;计算Z的均值和方差,有E(Z)=2E(X)－E(Y)+3=2－0+3=5D(Z)=4D(X)+D(Y)=4×2+1=9相关系数与矩电子科技大学20.2.7zezfzZ18)5(2231)(因此,Z~N(5,32),其概率密度为相关系数与矩电子科技大学20.2.7例4.3.7(习题四第21题,P122)设二维随机变量(X,Y)~N(1,32;0,42;0.5),并且试求:(1)Z的数学期望和方差;(2)X与Z的相关系数XZ;(3)X与Z是否相互独立?相关系数与矩电子科