等时圆

牛顿运动定律的应用——等时圆模型的建立与应用高一(12)班一、等时圆模型的建立○模型1：物体从竖直圆环的顶点沿任何弦由静止开始无摩擦下滑到圆周上，所用的时间都相等。·RθBC1等时圆的两种模型小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。○等时圆模型2·θBRAC问题：图中AB、AC为光滑直轨道，A、B、C三点在同一竖直圆周上，其中AB是竖直的。一小球从顶点A点由静止开始，分别沿AB、AC轨道滑下，到达B、C点所用的时间分别为tAB、tAC。试证明：tAB=tAC。·RθABC2“等时圆”等时性的证明·RθABC3“等时圆”基本规律讨论讨论1：一定是“最高点”和“最低点”吗？·θBRACB3“等时圆”基本规律讨论讨论1：一定是“最高点”和“最低点”吗？3“等时圆”基本规律讨论讨论2：一定是光滑轨道吗？·RθABCGGFN·RθABCGGFNFf3“等时圆”基本规律讨论讨论3：一定初速度为零？·RθABCv0v020212gttvRAB过程20'cos21'cos2tgtvRAC过程ABOPCαβ●θ讨论4：一定是竖直平面上的轨道吗？3“等时圆”基本规律讨论⑴小球从圆的顶端开始沿不同光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。⑵小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。⑶竖直圆周情况，沿不同的光滑弦轨道运动的时间等于小球沿过顶端（底端）的直径自由落体的时间。●“等时圆”基本规律总结顶端底端静止静止光滑光滑沿斜面下滑时间自由落体的时间二、“等时圆”模型的基本应用问题1：如图所示，AB和CD是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为R和r的两个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点P.设有一个重物先后沿斜槽从静止出发，从A滑到B和从C滑到D，所用的时间分别等于t1和t2，则t1和t2之比为()A．2∶1B．1∶1C.3∶1D．1∶21比较或计算运动时间PACBθ问题2：如图，斜面倾角为θ,光滑小球沿PA、PB、PC3条路径运动到斜面上，PA竖直，PC垂直于斜面，则沿3条路径运动的时间大小是什么关系？OABLL问题3：如图，在斜坡上有一根旗杆长为L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小环从A滑到B的时间。Ls2s2s2问题4：倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO=OB=10m，在C点竖直地固定一长10m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（取g=10m/s2）A．2s和2sB．C．D.和2s4s和和4sAOBC30°2确定运动路径问题1：如图所示，在倾角为α的传送带的正上方，有一发货口A.为了使货物从静止开始，由A点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带，则斜槽与竖直方向的夹角β应为多少？αββ=α/2问题2：如图所示，在同一竖直平面内，从定点P到固定斜面(倾角为θ)搭建一条光滑轨道PM，使物体从P点释放后，沿轨道下滑到斜面的时间最短，则此轨道与竖直线的夹角α为多少？MPθαMPθαθα=θ/2•PHL问题3：如图所示，在同一竖直平面内，地面上高H的定点P，到半径为R的定圆的水平距离为L，从P搭建一条光滑轨道到定圆的圆周上。现使物体从P点释放后，沿轨道下滑到定圆的时间最短，该轨道与竖直方向夹角应多大？H和L满足题设要求。HLP•问题4：在竖直平面内，固定一个半径为R的大圆环，其圆心为O，在圆内与圆心O同一水平面上的P点搭一光滑斜轨道PM到大环上，如图所示，OP=d＜R。欲使物体从P点释放后，沿轨道滑到大环的时间最短，求M点位置（用OM与水平面的夹角α的三角函数表达）。OP●d●OPMdαθ●rdRdRdr2tan22222)(rdrRRdRr2223测定圆周半径问题：有一条水渠，其底部是半径很大的圆弧，如何用等时圆知识估测该水渠底部的圆弧半径，所用器材只有一光滑小球、秒表、长木板。●R三、巩固练习AB030ABCtttABCtttABCtttC1．如图所示，在竖直面内有一圆，圆内OD为水平线，圆周上有三根互成300的光滑杆OA、OB、OC，每根杆上套着一个小球（图中未画出）。现让一个小球分别沿三根杆顶端无初速下滑到O,所用的时间分别为tA、tB、tC，则（）CD无法确定ABDO0300302．如图，Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c四点位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从图中O点无初速释放，用t1、t2、t3、依次表示滑到a、b、c所用的时间，则（）321ttt321ttt321ttt213tttA．B．C．D.3．如图，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则（）A、a处小孩最先到O点B、b处小孩最先到O点C、c处小孩最先到O点D、a、c处小孩同时到O点θaObcABPHhO4.如图所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离OP。